- On a $a-b=1$. En élevant au carré, on obtient : \begin{align*} (a-b)^2 &= 1 \\ a^2 - 2ab + b^2 &= 1 \\ a^2 + b^2 &= 1 + 2ab \end{align*} En ajoutant $a^2b^2$ aux deux membres, il vient : \begin{align*} a^2 + b^2 + a^2b^2 &= 1 + 2ab + a^2b^2 \\ a^2 + b^2 + a^2b^2 &= (1+ab)^2 \end{align*} Ce qui est bien un carré parfait.
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On a l'expression :
\[ u_n = \sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}} \]
En réduisant au même dénominateur, on peut l'écrire :
\[ u_n = \sqrt{\dfrac{n^2(n+1)^2+(n+1)^2+n^2}{n^2(n+1)^2}} \]
En posant $a=n+1$ et $b=n$, on remarque que $a-b = 1$.
En utilisant le résultat de la question précédente au numérateur, on trouve : \[ u_n = \sqrt{\dfrac{a^2b^2+a^2+b^2}{(ab)^2}} \] \[ u_n = \sqrt{\dfrac{(1+ab)^2}{(ab)^2}} \] Puisque $a$ et $b$ sont des entiers positifs, on en déduit : \[ u_n = \dfrac{1+ab}{ab} = \dfrac{1+n(n+1)}{n(n+1)} \] Ce qui est bien évidemment un nombre rationnel. -
On cherche à calculer la somme $S = \sum_{n=1}^{2022} u_n$.
D'après la question précédente : \begin{align*} S &= \sum_{n=1}^{2022} \dfrac{1+n(n+1)}{n(n+1)} \\ &= \sum_{n=1}^{2022} \left(1 + \dfrac{1}{n(n+1)}\right) \\ &= \sum_{n=1}^{2022} 1 + \sum_{n=1}^{2022} \left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}\right) \end{align*} La première somme vaut $2022$. La deuxième est une somme télescopique classique : \begin{align*} S &= 2022 + \left(1 - \dfrac{1}{2023}\right) \\ S &= 2023 - \dfrac{1}{2023} \end{align*}