On considère le nombre $S$ suivant : \[ S=\sum\limits_{k=1}^{2022}{\sqrt{1+\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}}} \] Notre objectif est de calculer $S$

  1. Soit $a$ et $b$ des entiers naturels. Montrer que si $a-b=1$ alors : $a^2+b^2+a^2b^2$ est un carré parfait.
  2. En déduire que $u_n=\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}}$ est un rationnel. Calculer $u_n$.
  3. En déduire la valeur de : $S$