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L'équation $(\mathcal{E}_1)$ peut se réécrire en factorisant la somme des cubes :
\[ (m+n)(m^2-mn+n^2) = 89p \]
Les remarques préliminaires suivantes sont utiles :
- $m \neq n$. En effet, si $m=n$, l'équation devient $2m^3 = 89p$. Le membre de gauche étant pair, celui de droite doit l'être aussi. Puisque $89$ est impair et $p$ est premier, cela impose $p=2$. L'équation devient alors $m^3 = 89$, ce qui est impossible car $89$ n'est pas un cube parfait dans $\mathbb{N}$.
- $m+n \geq 2$ (puisque $m$ et $n$ sont des entiers strictement positifs).
- $m^2-mn+n^2 = (m-n)^2+mn \geq 2$ (car $m \neq n \implies (m-n)^2 \ge 1$ et $mn \ge 1$).
De l'unicité de la décomposition en facteurs premiers, puisque $89$ et $p$ sont des nombres premiers, on a nécessairement l'une des deux possibilités suivantes : \[ \{m+n ; m^2-mn+n^2\} = \{89 ; p\} \] Démontrons par l'absurde que $m+n = 89$.
Si $m+n \neq 89$, alors nécessairement $m^2-mn+n^2 = 89$. \begin{align*} m^2-mn+n^2 &= 89 \\ (m+n)^2 - 3mn &= 89 \end{align*} Passons cette équation au modulo $3$ : \begin{align*} (m+n)^2 &\equiv 89 \pmod 3 \\ (m+n)^2 &\equiv 2 \pmod 3 \end{align*} Ceci est une contradiction absolue, car le carré d'un entier modulo $3$ ne peut être congru qu'à $0$ ou $1$. L'hypothèse est donc fausse.
On doit donc avoir le système suivant : \[ \begin{cases} m+n = 89 \\ m^2-mn+n^2 = p \end{cases} \] - À partir de la deuxième équation du système, on peut exprimer $p$ en fonction uniquement de $m$. Sachant que $n = 89-m$ : \begin{align*} p(m) &= m^2 - m(89-m) + (89-m)^2 \\ p(m) &= m^2 - 89m + m^2 + 89^2 - 178m + m^2 \\ p(m) &= 3m^2 - 3 \times 89m + 89^2 \end{align*}
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Notre objectif est de trouver le couple d'entiers $(m,n)$ qui minimise $p(m)$ tout en garantissant que $p$ soit un nombre premier.
Étudions la fonction $p(m)$ sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée est : \[ p'(m) = 6m - 3 \times 89 = 6m - 267 \] En cherchant le minimum global (où $p'(m) = 0$), on trouve : \[ 6m = 267 \implies m = 44,5 \] La fonction $p(m)$ est une parabole tournée vers le haut, son minimum absolu se situe donc en $m = 44,5$ (ce qui correspondrait à $m=n$, mais nous savons que $m$ et $n$ doivent être des entiers distincts).
Pour minimiser $p$ sur les entiers, il suffit de tester les valeurs entières les plus proches du sommet de la parabole, en s'en éloignant progressivement :- Essai 1 (les entiers les plus proches) : Testons $m=44$ (qui donne $n=45$). \[ p(44) = 44^2 - 44 \times 45 + 45^2 = 1981 \] Vérifions si 1981 est premier : il est divisible par 7 ($1981 = 7 \times 283$). Il n'est donc pas premier.
- Essai 2 (on s'éloigne d'un pas) : Testons $m=43$ (qui donne $n=46$). \[ p(43) = 43^2 - 43 \times 46 + 46^2 = 1987 \] Vérifions si 1987 est premier en testant sa divisibilité par les nombres premiers jusqu'à $\sqrt{1987} \approx 44$. Aucun ne le divise. 1987 est bien un nombre premier !
Conclusion :
Le plus petit nombre premier $p$ qui peut s'écrire sous la forme $p = \dfrac{m^3+n^3}{89}$ avec $(m,n) \in \mathbb{N}^2$ est $p=1987$, obtenu pour le couple $(43, 46)$ (ou symétriquement $(46, 43)$).