-
Écrivons cette équation modulo $3$. Sachant que $5 \equiv -1 \pmod 3$ et $7 \equiv 1 \pmod 3$, on a :
\begin{align*}
5x^2 - 7y^2 &\equiv 3 \pmod 3 \\
-x^2 - y^2 &\equiv 0 \pmod 3 \\
x^2 + y^2 &\equiv 0 \pmod 3
\end{align*}
Or, le carré d'un entier modulo $3$ ne peut prendre que les valeurs $0$ ou $1$ :
\[ x^2 \equiv 0 \text{ ou } 1 \pmod 3 \quad \text{et} \quad y^2 \equiv 0 \text{ ou } 1 \pmod 3 \]
La somme de deux carrés n'est congrue à $0$ modulo $3$ que si les deux carrés sont eux-mêmes congrus à $0$.
On doit donc avoir : \[ x \equiv 0 \pmod 3 \quad \text{et} \quad y \equiv 0 \pmod 3 \] Par conséquent, il existe deux entiers $k$ et $l$ dans $\mathbb{Z}$ tels que $x=3k$ et $y=3l$.
En substituant dans l'équation initiale, on obtient : \begin{align*} 5(3k)^2 - 7(3l)^2 &= 3 \\ 5(9k^2) - 7(9l^2) &= 3 \\ 9(5k^2 - 7l^2) &= 3 \\ 3(5k^2 - 7l^2) &= 1 \end{align*} Cette dernière égalité est impossible dans $\mathbb{Z}$, car elle implique que $1$ est un multiple de $3$.
Donc, l'équation $(\mathcal{E})$ n'a pas de solution dans $\mathbb{Z}^2$. -
Écrivons maintenant la même équation modulo $4$. Sachant que $5 \equiv 1 \pmod 4$ et $-7 \equiv 1 \pmod 4$, l'équation se simplifie directement :
\begin{align*}
5x^2 - 7y^2 &\equiv 3 \pmod 4 \\
x^2 + y^2 &\equiv 3 \pmod 4
\end{align*}
Or, le carré d'un entier modulo $4$ ne peut prendre que les valeurs $0$ ou $1$ :
\[ x^2 \equiv 0 \text{ ou } 1 \pmod 4 \quad \text{et} \quad y^2 \equiv 0 \text{ ou } 1 \pmod 4 \]
La somme maximale de deux carrés modulo $4$ est donc $1 + 1 = 2$.
L'égalité $x^2 + y^2 \equiv 3 \pmod 4$ est par conséquent rigoureusement impossible.
Cette deuxième méthode confirme de manière extrêmement directe que l'équation n'a pas de solution.