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On a la décomposition en facteurs premiers : $2019 = 3 \times 673$ (car $673$ est un nombre premier).
L'équation $(\mathcal{E}_1)$ s'écrit par factorisation : \[ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) = 3 \times 673 \] Puisque $a$ et $b$ sont des entiers positifs, on a l'inégalité stricte : $a-b < a+b$.
Les diviseurs de $2019$ nous donnent les deux systèmes possibles suivants : \begin{align*} \begin{cases} a-b = 1 \\ a+b = 2019 \end{cases} \qquad &\text{ou} \qquad \begin{cases} a-b = 3 \\ a+b = 673 \end{cases} \\ \begin{cases} 2a = 2020 \\ 2b = 2018 \end{cases} \qquad &\text{ou} \qquad \begin{cases} 2a = 676 \\ 2b = 670 \end{cases} \\ \begin{cases} a = 1010 \\ b = 1009 \end{cases} \qquad &\text{ou} \qquad \begin{cases} a = 338 \\ b = 335 \end{cases} \end{align*} L'ensemble des couples $(a,b)$ solutions de l'équation $(\mathcal{E}_1)$ est donc : \[ S = \{(1010,1009) ; (338,335)\} \] -
Avant de se lancer dans la résolution de l'équation $(\mathcal{E}_2)$, il est utile de faire les remarques préliminaires suivantes :
- Puisque $a$ et $b$ sont des entiers strictement positifs, on a l'inégalité : $a-b < a^2+ab+b^2$.
- Puisque $2019$ est divisible par $3$, on a $a^3-b^3 \equiv 0 \pmod 3$, ce qui implique $a^3 \equiv b^3 \pmod 3$.
Le petit théorème de Fermat donne: \[x^3 \equiv x \pmod 3\] Donc on obtient $a \equiv b \pmod 3$. Ainsi, si l'un des entiers $a$ ou $b$ est divisible par $3$, l'autre l'est également. - Cependant, si $a=3a'$ et $b=3b'$, on aurait $a^3-b^3 = 27(a'^3-b'^3)$. L'équation deviendrait $27(a'^3-b'^3) = 2019$, ce qui aboutit à une contradiction car $2019$ n'est pas divisible par $27$. On en déduit que les entiers $a$ et $b$ sont premiers avec $3$.
Passons maintenant à la résolution de $(\mathcal{E}_2)$ : \[ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) = 2019 \] Écrivons cette équation modulo $3$, en remarquant que $a^2+ab+b^2 = (a-b)^2+3ab$ : \begin{align*} (a-b)(a^2+ab+b^2) &\equiv 2019 \pmod 3 \\ (a-b)((a-b)^2+3ab) &\equiv 0 \pmod 3 \\ (a-b)^3 &\equiv 0 \pmod 3 \end{align*} Ceci implique directement que : \[ a-b \equiv 0 \pmod 3 \] Le facteur $(a-b)$ est donc un multiple de $3$ qui divise $2019$. Sachant que $a-b < a^2+ab+b^2$, la seule valeur possible parmi les diviseurs de $2019$ est $3$ (la valeur $673$ imposerait $a^2+ab+b^2 = 3$, ce qui est impossible pour des entiers strictement positifs).
On obtient alors le système : \[ \begin{cases} a-b = 3 \\ a^2+ab+b^2 = 673 \end{cases} \] En utilisant à nouveau l'identité $a^2+ab+b^2 = (a-b)^2+3ab$, on substitue $a-b$ par la valeur $3$ dans la seconde équation : \begin{align*} 3^2 + 3ab &= 673 \\ 9 + 3ab &= 673 \\ 3ab &= 664 \end{align*} Cette dernière égalité est impossible, car $664$ n'est pas divisible par $3$ (la somme de ses chiffres est $16$), alors que le membre de gauche est un multiple de $3$.
Conclusion :
L'équation $(\mathcal{E}_2)$ n'a pas de solution dans $\mathbb{N}^2$.