1. Soit $n \ge 2$. On désigne par $q$ le plus grand entier tel que $2^q \le n$.
    On a donc l'encadrement strict : \[ 2^q \le n < 2^{q+1} \] (Car sinon, l'entier $q+1$ vérifierait aussi la condition de maximalité, ce qui est absurde).

    Posons $l = \text{ppcm}(1,2,3,\dots,n)$. Soit $k \in \{1,2,\dots,n\}$ un entier avec $k \neq 2^q$.
    L'entier $k$ s'écrit de manière unique sous la forme $k = a \times 2^b$ avec $a$ impair.
    Montrons que $b < q$. Raisonnons par l'absurde en supposant $b \ge q$. Puisque $k \neq 2^q$, deux sous-cas se présentent :
    • Cas $b > q$ : Puisque $a \ge 1$, on a $k \ge 2^b \ge 2^{q+1} > n$, ce qui est impossible car $k \le n$.
    • Cas $b = q$ et $a > 1$ : Puisque $a$ est un entier impair strictement supérieur à $1$, on a nécessairement $a \ge 3$. On obtient alors : \[ k = a \times 2^q \ge 3 \times 2^q = 2^{q+1} + 2^q > n \] Ce qui est à nouveau impossible.
    On en déduit donc que pour tout entier $k \neq 2^q$, la puissance de $2$ qui le divise vérifie $b < q$.
    Le nombre $2^q$ est donc l'unique entier entre $1$ et $n$ dont la $2$-valuation est exactement $q$.
    Par définition du ppcm, la puissance de $2$ dans la décomposition de $l$ correspond au maximum des puissances de $2$ des entiers de $1$ à $n$. Cette puissance est donc $q$.
    On en déduit que $l$ s'écrit sous la forme : \[ l = m \times 2^q \qquad \text{avec } m \text{ impair} \]
  2. Calculons la somme $u_n$ en réduisant tous les termes au dénominateur commun $l$ : \begin{align*} u_n &= \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} \\ &= \sum_{k=1}^n \dfrac{l/k}{l} \\ &= \dfrac{\sum_{k=1}^n (l/k)}{l} \\ u_n &= \dfrac{p}{l} \end{align*} Le numérateur est $p = \sum_{k=1}^n \dfrac{l}{k}$. Analysons la parité de chaque terme composant cette somme :
    • Pour $k = 2^q$, le terme est : \[ \dfrac{l}{2^q} = \dfrac{m \times 2^q}{2^q} = m \] Puisque $m$ est impair, ce terme est impair.

    • Pour tout autre $k \neq 2^q$, on a $k = a_k 2^{b_k}$ avec $b_k < q$ et $a_k$ impair. Le terme correspondant est : \[ \dfrac{l}{k} = \dfrac{m \times 2^q}{a_k 2^{b_k}} = \left(\dfrac{m}{a_k}\right) 2^{q - b_k} \] Puisque $k$ divise le ppcm $l$, l'entier $a_k$ divise nécessairement $m$, ce qui fait de $\left(\dfrac{m}{a_k}\right)$ un entier. De plus, comme $b_k < q$, on a $q - b_k \ge 1$. Ce terme possède donc au moins un facteur $2$, il est donc pair.
    Le numérateur $p$ est constitué de la somme d'exactement un seul terme impair (celui pour $k=2^q$) et de $(n-1)$ termes pairs. Par conséquent, l'entier $p$ est impair.
  3. D'après les questions précédentes, nous avons pu écrire $u_n = \dfrac{p}{l}$ où :
    • $p$ est un entier impair.
    • $l = m \times 2^q$ est un entier pair (car pour $n \ge 2$, on a $q \ge 1$).
    La fraction $\dfrac{p}{l}$ représente un nombre impair divisé par un nombre pair. Le reste de la division d'un nombre impair par un nombre pair n'étant jamais nul, le résultat ne peut en aucun cas être un entier.
    En conclusion, pour tout $n \ge 2$, $u_n$ n'est pas un entier.