On se propose de montrer que la suite $(u_n)$ définie ci-dessous n'est jamais un entier pour $n\geq 2$ : \[ u_n=1+\dfrac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots + \dfrac{1}{n} \] On désigne par $~l,~$ le plus petit multiple commun de $(1,2,3,\cdots,n)$, c'est-à-dire $l=\text{ppcm}(2,3,\cdots,n)$
  1. Montrer qu'il existe un unique couple $(n_0,m)$ tel que : $l=2^{n_0}\times m$ avec $m$ impair.
  2. Montrer que l'on peut écrire : $u_n=\dfrac{p}{l}$
  3. Montrer que $p$ est impair.
  4. En déduire que $u_n$ n'est pas entier pour $n\geq 2$.