• Condition suffisante :
      Supposons que $d \mid n$. Il existe alors un entier $k \in \mathbb{N}$ tel que $n = kd$.
      On peut factoriser l'expression : \begin{align*} a^n-1 &= a^{kd}-1 \\ &= (a^d)^k-1 \\ &= (a^d-1)\left((a^d)^{k-1} + (a^d)^{k-2} + \cdots + a^d + 1\right) \end{align*} Le deuxième facteur étant un entier, ceci prouve bien que $(a^d-1)$ divise $(a^n-1)$.

    • Condition nécessaire :
      Supposons que $(a^d-1)$ divise $(a^n-1)$.
      La division euclidienne de $n$ par $d$ assure l'existence d'un unique couple $(q,r) \in \mathbb{N}^2$ tel que : \[ n = qd + r \quad \text{avec} \quad 0 \leq r \leq d-1 \] Transformons l'expression de $a^n-1$ : \begin{align*} a^n-1 &= a^{qd+r}-1 \\ &= a^r a^{qd} - 1 \\ &= a^r a^{qd} - a^r + a^r - 1 \\ &= a^r(a^{qd}-1) + (a^r-1) \qquad (1) \end{align*}
      • Par hypothèse, on sait que $(a^d-1)$ divise $(a^n-1)$. Il existe donc un entier $l \in \mathbb{N}$ tel que $a^n-1 = l(a^d-1)$.
      • De plus, d'après la condition suffisante démontrée plus haut, puisque $d$ divise $qd$, on sait que $(a^d-1)$ divise $(a^{qd}-1)$. Il existe donc un entier $m \in \mathbb{N}$ tel que $a^{qd}-1 = m(a^d-1)$.
      En substituant ces deux expressions dans l'équation $(1)$, on obtient : \begin{align*} l(a^d-1) &= a^r m(a^d-1) + (a^r-1) \\ a^r-1 &= (a^d-1)(l - m a^r) \end{align*} Ceci implique que $(a^d-1)$ divise $(a^r-1)$.
      Or, sachant que $a \geq 2$ et que $0 \leq r < d$, la stricte croissance de la fonction exponentielle de base $a$ garantit que : \[ 0 \leq a^r-1 < a^d-1 \] Le seul multiple de $(a^d-1)$ qui soit strictement inférieur à $(a^d-1)$ et positif ou nul est $0$. On doit donc nécessairement avoir : \[ a^r-1 = 0 \implies a^r = 1 \implies r = 0 \] Puisque $r=0$, on a $n = qd$. Par conséquent, $d \mid n$, ce qui prouve que la condition est bien nécessaire.
  2. On remarque que : \begin{align*} 31 &= 2^5-1 \\ 127 &= 2^7-1 \end{align*} Or, les entiers $5$ et $7$ divisent tous les deux $35$. D'après l'équivalence démontrée à la question précédente (appliquée avec $a=2$), on en déduit immédiatement que : \begin{align*} (2^5-1) \mid (2^{35}-1) &\implies 31 \mid (2^{35}-1) \\ (2^7-1) \mid (2^{35}-1) &\implies 127 \mid (2^{35}-1) \end{align*}