1. Si on suppose que $x=y$, l'équation devient : \begin{align*} 2x^3 &= 173(1+x^2) \end{align*} Cela implique que $x^2$ divise le produit $173(1+x^2)$.
    Or, on sait que deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux, donc $x^2 \land (x^2+1) = 1$. D'après le lemme de Gauss, on en déduit nécessairement : \[ x^2 \mid 173 \] Puisque $173$ est un nombre premier, ses seuls diviseurs dans $\mathbb{N}$ sont $1$ et $173$. Le seul diviseur qui soit un carré parfait est $1$. On a donc : \[ x^2 = 1 \implies x = 1 \] En remplaçant $x=1$ dans l'équation $2x^3 = 173(1+x^2)$, on trouve $2 = 346$, ce qui est absurde. On conclut que $x \neq y$.
  2. Posons $d=x\land y$. Il existe alors un couple d'entiers naturels $(a,b)$ tels que : \[ \begin{cases} x=da \\ y=db \\ a\land b=1 \end{cases} \] En substituant dans l'équation initiale $(E)$ : \begin{align*} (da)^3+(db)^3 &= 173(1+(da)(db)) \\ d^3(a^3+b^3) &= 173(1+d^2ab) \end{align*} Cette égalité montre que $d^2$ divise le membre de droite. Or, il est clair que $d^2 \land (1+d^2ab) = 1$ (si un diviseur commun divisait $d^2$, il diviserait $1+d^2ab$, donc il diviserait $1$). Par le lemme de Gauss, on doit avoir : \[ d^2 \mid 173 \] Pour les mêmes raisons qu'à la question précédente ($173$ étant premier), le seul carré parfait divisant $173$ est $1$. On en déduit : \[ d^2 = 1 \implies d=1 \] Ce qui prouve que $x \land y = 1$.
  3. On connaît l'identité remarquable : $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.
    L'équation $(E)$ s'écrit alors : \[ (x+y)(x^2-xy+y^2)=173(1+xy) \] Supposons que $173 \mid (x+y)$. Puisque $x, y \in \mathbb{N}$, il existe un entier $m \in \mathbb{N}^*$ ($m \ge 1$) tel que : \[ x+y = 173m \] En remplaçant dans l'équation, on obtient : \[ 173m(x^2-xy+y^2) = 173(1+xy) \implies m(x^2-xy+y^2) = 1+xy \] Puisque $m \ge 1$, on a l'inégalité : \begin{align*} x^2-xy+y^2 &\le 1+xy \\ x^2-2xy+y^2 &\le 1 \\ (x-y)^2 &\le 1 \end{align*} Puisque $(x-y)^2$ est un entier positif, on a nécessairement $(x-y)^2 \in \{0, 1\}$. Or, on a supposé $x>y$ (et on sait que $x \neq y$ d'après la question 1). On a donc : \[ x-y=1 \qquad (1) \] En remplaçant dans la première ligne de l'inégalité : \[ x^2-xy+y^2 = (x-y)^2+xy = 1+xy \] Le second facteur de notre équation initiale factorisée devient donc $(1+xy)$. L'équation $(E)$ s'écrit alors : \begin{align*} (x+y)(1+xy) &= 173(1+xy) \end{align*} Puisque $(1+xy) \neq 0$, on simplifie pour obtenir : \[ x+y=173 \qquad (2) \] Les égalités $(1)$ et $(2)$ forment un système simple : \[ \begin{cases} x-y = 1 \\ x+y = 173 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x = 174 \\ 2y = 172 \end{cases} \implies (x,y)=(87,86) \]
  4. Deuxième partie :
    1. En écrivant l'équation $(E)$ modulo $173$, le terme de droite s'annule : \begin{align*} x^3+y^3 &\equiv 0 \pmod{173} \\ x^3 &\equiv -y^3 \pmod{173} \end{align*}

    2. En élevant cette dernière congruence à la puissance $57$, on a : \[ (x^3)^{57} \equiv (-y^3)^{57} \pmod{173} \] Puisque la puissance $57$ est impaire, le signe "-" est conservé. De plus, $3 \times 57 = 171$. On en déduit : \[ x^{171} \equiv -y^{171} \pmod{173} \]

    3. Multiplions les deux membres de cette congruence par le produit $xy$ : \begin{align*} (xy)x^{171} &\equiv -(xy)y^{171} \pmod{173} \\ yx^{172} &\equiv -xy^{172} \pmod{173} \qquad (3) \end{align*} Or, $173$ est un nombre premier. Sachant que $x$ et $173$ (ainsi que $y$ et $173$) n'ont pas de diviseur commun (car $x^3+y^3 \equiv 0 \pmod{173}$ implique que si $173 \mid x$, alors $173 \mid y$, or $x \land y = 1$), on peut appliquer le petit théorème de Fermat : \[ \begin{cases} x^{172} \equiv 1 \pmod{173} \\ y^{172} \equiv 1 \pmod{173} \end{cases} \qquad (4) \] En substituant ces valeurs dans la congruence $(3)$, on tire immédiatement : \[ y(1) \equiv -x(1) \pmod{173} \implies x \equiv -y \pmod{173} \]

    4. D'après la congruence précédente, on peut écrire : \[ x+y \equiv 0 \pmod{173} \] Ce qui signifie que $173$ divise $(x+y)$.
      Or, nous avons démontré dans la première partie (question 3) que si $173 \mid (x+y)$ avec la condition $x>y$, alors l'équation $(E)$ admet une unique solution, à savoir $(87,86)$.

      Conclusion :
      Par symétrie de l'équation initiale (si $(x,y)$ est solution, alors $(y,x)$ l'est aussi), l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$ dans $\mathbb{N}^2$ est : \[ S = \{(87,86), (86,87)\} \]