Soit à résoudre dans $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ l'équation : \[ (E):\quad x^3+y^3=173(1+xy) \] On admet que $173$ est un nombre premier.

1. Première partie :

   1. Montrer que si $(x,y)$ est une solution de $(E)$ alors $x\neq y$
   2. Montrer que si $(x,y)$ est une solution de $(E)$ alors $x\land y=1$
   3. Soit $(x,y)$ une solution telle que : $x>y$, montrer l'implication suivante : \[ 173\mid(x+y)\Longrightarrow (x,y)=(87,86) \]

2. Deuxième partie :

   1. Montrer que si $(x,y)$ est solution de $(E)$ alors : $x^3=-y^3\pmod{173}$
   2. En remarquant $173=3\times 57 +2$, montrer que $x^{171}=-y^{171}\pmod{173}$
   3. Déduire de ce qui précède et en utilisant Fermat que : $x=-y\pmod{173}$
   4. En déduire toutes les solutions de $(E)$