1. On a : $m=p^2+2^p$
    1. Puisque $p \ge 5$, on a : \[ \begin{cases} p \land 3 = 1 \\ p^2 \equiv 1 \pmod 3 \quad \text{(D'après le petit théorème de Fermat)} \\ 2^p \equiv -1 \pmod 3 \quad (\text{car } 2 \equiv -1 \pmod 3 \text{ et } p \text{ est impair}) \end{cases} \] On en déduit : \[ m \equiv 1 + (-1) \pmod 3 \implies m \equiv 0 \pmod 3 \] Or : \[ \begin{cases} m \equiv 0 \pmod 3 \\ m > 3 \end{cases} \] Ceci implique que $m$ n'est pas un nombre premier.

    2. Dans le cas particulier où $p=3$, on a : \[ m=3^2+2^3=17 \] qui est bien un nombre premier.
    1. On a :
      • $4(1+x+x^2+x^3+x^4)-(2x^2+x)^2 = 3x^2+4x+4 > 0$
      • $(2x^2+x+2)^2-4(1+x+x^2+x^3+x^4) = 5x^2 > 0$
      On en déduit l'encadrement strict suivant : \[ (2x^2+x)^2 < 4(1+x+x^2+x^3+x^4) < (2x^2+x+2)^2 \qquad (1) \]

    2. Si $4(1+x+x^2+x^3+x^4)$ est un carré parfait, d'après l'encadrement $(1)$, il doit nécessairement être égal au carré de l'entier situé strictement entre $(2x^2+x)$ et $(2x^2+x+2)$. On doit donc avoir : \begin{align*} 4(1+x+x^2+x^3+x^4) &= (2x^2+x+1)^2 \\ 4x^4+4x^3+4x^2+4x+4 &= 4x^4+4x^3+5x^2+2x+1 \\ x^2-2x-3 &= 0 \end{align*} La seule solution positive de cette équation est : \[ x=3 \qquad (\text{car } x \in \mathbb{N}) \]

    3. Soit $p$ un nombre premier.
      • Les seuls diviseurs positifs de $p$ sont $1$ et $p$. Et donc : \[ \sigma(p)=p+1 \]
      • Les diviseurs positifs de $p^4$ sont $1, p, p^2, p^3$ et $p^4$. Et donc : \[ \sigma(p^4)=1+p+p^2+p^3+p^4 \]
      • D'après ce qui précède, en faisant la substitution $x=p$, on remarque que $\sigma(p^4)$ est un carré parfait si et seulement si $4\sigma(p^4)$ l'est également (car $4=2^2$). Ainsi, si $\sigma(p^4)$ est un carré parfait, on a nécessairement : \[ p=3 \] Réciproquement, si $p=3$, on a : \[ \sigma(3^4) = 1+3+9+27+81 = 121 = 11^2 \] Ce qui est bien un carré parfait.
      On en déduit l'équivalence : \[ \sigma(p^4) \text{ est un carré parfait} \Longleftrightarrow p=3 \]