Soit $p$ un nombre premier et $m=p^2+2^p$.
  1. On suppose que : $p\geq 5$
    1. Montrer que $m=0\pmod 3$. Que peut-on conclure pour $m$.
    2. Que peut-on dire de $m$ si $p=3$
  2. Soit $n\in \mathbb{N}^*$ et soit $\sigma$ la fonction définie sur $\mathbb{N}^*$ par : \[ \sigma(n)=\sum\limits_{d\mid n}{d}=\text{la somme des diviseurs de } n \] Exemples :
    $\sigma(6)=1+2+3+6=12\qquad \sigma(12)=1+2+3+4+6+12=28$
    1. Montrer que pour tout $x\in\mathbb{N}^*$ on a : \[ (2x^2+x)^2<4(1+x+x^2+x^3+x^4)<(2x^2+x+2)^2 \]
    2. Démontrer que si $(1+x+x^2+x^3)$ est un carré parfait alors $x=3$
    3. Calculer $\sigma(p)$ puis $\sigma(p^4)$
    4. En déduire que si $\sigma(p^4)$ est un carré parfait alors $p=3$