1. La décomposition de $289$ en facteurs premiers donne : \[ 289 = 17^2 \] On voit donc clairement que $17$ divise $289$.
  2. On sait que $5^2 = 25$. Or, $25 = 17 \times 1 + 8$, ce qui donne $5^2 \equiv 8 \pmod{17}$.
    L'équation $x^2 \equiv 8 \pmod{17}$ peut alors s'écrire : \begin{align*} x^2 - 25 &\equiv 0 \pmod{17} \\ (x-5)(x+5) &\equiv 0 \pmod{17} \\ x &\equiv \pm 5 \pmod{17} \end{align*}
  3. Prenons le cas $x \equiv 5 \pmod{17}$. Cela implique qu'il existe un entier $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x = 17k+5$.
    Cherchons une solution pour l'équation $(E_1)$ dans ce cas : \begin{align*} x^2 &\equiv 8 \pmod{289} \\ (17k+5)^2 &\equiv 8 \pmod{289} \\ 289k^2 + 17 \times 10k + 25 &\equiv 8 \pmod{289} \\ 170k + 17 &\equiv 0 \pmod{289} \\ 17(10k+1) &\equiv 0 \pmod{289} \end{align*} En divisant cette dernière égalité par $17$ (puisque $289 = 17^2$), on obtient : \begin{align*} 10k+1 &\equiv 0 \pmod{17} \\ 10k &\equiv -1 \pmod{17} \\ 10k &\equiv 16 \pmod{17} \\ 5k &\equiv 8 \pmod{17} \end{align*} Sachant que $5 \times 5 = 25 \equiv 8 \pmod{17}$, on en déduit : \[ k \equiv 5 \pmod{17} \] Il existe donc un entier $m \in \mathbb{Z}$ tel que $k = 17m+5$.
    Substituons cette valeur de $k$ dans l'expression de $x$ : \begin{align*} x &= 17(17m+5) + 5 \\ &= 289m + 85 + 5 \\ &= 289m + 90 \end{align*} On trouve donc la solution : \[ x \equiv 90 \pmod{289} \]
  4. Puisque $x^2 \equiv 90^2 \equiv 8 \pmod{289}$, on peut écrire : \begin{align*} x^2 - 90^2 &\equiv 0 \pmod{289} \\ (x-90)(x+90) &\equiv 0 \pmod{289} \end{align*} L'autre solution modulo $289$ est donc l'opposé de la première : \[ x \equiv -90 \pmod{289} \] Ce qui donne en valeur positive : \[ x \equiv 199 \pmod{289} \]