• Calcul de $f(40)$ :
      \begin{align*} f(40) &= 40^2+40+41 \\ &= 40(40+1)+41 \\ &= 40 \times 41 + 41 \\ &= 41(40+1) \\ f(40) &= 41^2 \end{align*}
    • Calcul de $f(41)$ : \begin{align*} f(41) & = 41^2+41+41\\ f(41 ) & = 41(41+1+1) \\ f(41) &= 41 \times 43 \end{align*}
    • Puisque $f(40)$ et $f(41)$ peuvent s'Ă©crire comme le produit de deux entiers strictement supĂ©rieurs Ă  $1$, ce sont des nombres composĂ©s. Ils ne sont donc pas premiers.
    1. En développant l'expression proposée, on a : \begin{align*} (n+1)^2 - (n-40) &= n^2 + 2n + 1 - n + 40 \\ &= n^2 + n + 41 \end{align*} Ce qui donne bien : \[ f(n) = (n+1)^2 - (n-40) \]

    2. Posons $n = 40 + k^2$ avec $k \in \mathbb{N}^*$. On a alors $n - 40 = k^2$. En remplaçant dans la relation prĂ©cĂ©dente : \[ f(n) = (n+1)^2 - k^2 \] Ceci est une diffĂ©rence de deux carrĂ©s, que l'on peut factoriser : \[ f(n) = (n+1-k)(n+1+k) \] En remplaçant $n$ par sa valeur $40+k^2$ Ă  l'intĂ©rieur des parenthĂšses : \[ f(n) = (40+k^2+1-k)(40+k^2+1+k) \] \[ f(n) = (k^2-k+41)(k^2+k+41) \] Étudions ces deux facteurs pour $k \ge 1$ :
      $k^2-k+41 = k(k-1)+41 \ge 41$
      $k^2+k+41 = k(k+1)+41 \ge 43$
      Les deux facteurs étant des entiers strictement supérieurs à $1$, $f(n)$ est bien un nombre composé.

    3. En appliquant la formule précédente pour $k = 2$, on obtient $n = 40 + 2^2 = 44$. \[ f(44) = (2^2-2+41)(2^2+2+41) \] \[ f(44) = (4-2+41)(4+2+41) \] \[ f(44) = 43 \times 47 \]

    4. Nous avons démontré que pour tout entier $k \ge 1$, l'entier $n = 40+k^2$ génÚre un nombre composé $f(n) = (k^2-k+41)(k^2+k+41)$. Puisqu'il existe une infinité de valeurs possibles pour $k$, il existe une infinité d'entiers naturels $n$ pour lesquels $f(n)$ n'est pas premier.