Considérons la fonction définie sur $\mathbb{N}$ par : \[ \begin{cases} f:\mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{N}\\ f(n)=n^2+n+41 \end{cases} \]

En 1772, le mathématicien Leonhard Euler a découvert la fonction quadratique $f(n) = n^2 + n + 41$.
Elle possède la propriété remarquable de produire des nombres premiers pour ses quarante premières valeurs (de $n=0$ à $n=39$). Cependant, contrairement à ce que l'on pourrait espérer au vu de ces premiers résultats, cette fonction ne retourne pas que des nombres premiers."

1. Démontrer sans calculatrice que $f(40)$ et $f(41)$ ne sont pas premiers.
   On se propose maintenant de démontrer qu'il existe une infinité d'entiers naturels $n$ tels que $f(n)$ n'est pas premier.
   1. Montrer que $f(n)=(n+1)^2-(n-40)$
   2. En posant $n=40+k^2 \quad (k\in\mathbb{N})$, montrer alors $f(n)$ est un nombre composé.
   3. En prenant $k=2$, montrer que $f(44)=43\times 47$
   4. Déduire de ce qui précède qu'il existe une infinité d'entiers $n$ pour lesquels $f(n)$ n'est pas premier.