• Par hypothèse, $a$ et $b$ sont premiers entre eux ($a \land b = 1$). D'après le théorème de Bézout, il existe un couple d'entiers relatifs $(r,s) \in \mathbb{Z}^2$ tel que : \[ ar + bs = 1 \]
    • L'égalité $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ nous donne $a = b\sqrt{2}$.
      Substituons $a$ par cette expression uniquement dans le premier terme de l'identité de Bézout : \[ \sqrt{2}br + bs = 1 \]
    • Multiplions ensuite les deux membres de cette équation par $\sqrt{2}$ : \[ \sqrt{2}(\sqrt{2}br + bs) = \sqrt{2} \] \[ 2br + \sqrt{2}bs = \sqrt{2} \]
    • Sachant que $\sqrt{2}b = a$, on substitue cette valeur dans le second terme pour obtenir la relation finale : \[ 2br + as = \sqrt{2} \]
    • Puisque $a, b, r$ et $s$ sont des entiers, l'expression $2br + as$ appartient à $\mathbb{Z}$. Étant donné que $\sqrt{2} > 0$, on en déduit nécessairement : \[ \sqrt{2} \in \mathbb{N} \]
    • D'après le résultat précédent, si $\sqrt{2}$ était un nombre rationnel, il serait un entier naturel.
    • Or, on sait que $1^2 = 1$ et $2^2 = 4$, ce qui donne l'encadrement strict : \[ 1 < 2 < 4 \]
    • Par stricte croissance de la fonction racine carrée sur $\mathbb{R}^+$, on obtient : \[ 1 < \sqrt{2} < 2 \]
    • Puisqu'il n'existe aucun entier naturel strictement compris entre $1$ et $2$, on aboutit à une contradiction.
    • On conclut donc que l'hypothèse de départ est absurde : $\sqrt{2}$ n'est pas un nombre rationnel.