1. $(F \cap G) + (F \cap H) \subset F \cap (G+H)$ :

    • Soit $x \in (F \cap G) + (F \cap H)$. Par dĂ©finition de la somme de deux sous-espaces, il existe $y \in F \cap G$ et $z \in F \cap H$ tels que $x = y + z$.
    • Comme $y \in F$ et $z \in F$, la stabilitĂ© du sous-espace vectoriel $F$ par addition implique que la somme $x = y + z$ appartient Ă  $F$.
    • De plus, $y \in G$ et $z \in H$, donc par dĂ©finition de la somme, $x = y + z \in G + H$.
    • Puisque $x$ appartient Ă  la fois Ă  $F$ et Ă  $G + H$, on conclut que $x \in F \cap (G+H)$.
    • L'inclusion est donc dĂ©montrĂ©e.

  2. Étude de l'Ă©galitĂ© :
    • L'Ă©galitĂ© n'est pas toujours vraie. Montrons-le par un contre-exemple.
    • ConsidĂ©rons l'espace vectoriel $E = \mathbb{R}^2$.
    • Soient les droites vectorielles dĂ©finies par : $F = \text{Vect}((1, 1))$, $G = \text{Vect}((1, 0))$ et $H = \text{Vect}((0, 1))$.
    • On a manifestement $G + H = \mathbb{R}^2$.
      Par conséquent: \[F \cap (G+H) = F\]
    • D'autre part, les droites Ă©tant distinctes, leurs intersections sont rĂ©duites au vecteur nul :
      \[F \cap G = \{(0, 0)\} \qquad \text{et} \qquad F \cap H = \{(0, 0)\}\]
    • Ainsi, $(F \cap G) + (F \cap H) = \{(0, 0)\}$.
    • On a bien $(F \cap G) + (F \cap H) \neq F \cap (G+H)$.
      L'égalité est donc fausse en général.

  3. Démonstration de l'égalité $(F \cap G) + (F \cap H) = F \cap(G+ (F \cap H))$ :
    • ProcĂ©dons par double inclusion.
    • Inclusion directe ($\subset$) : Soit $x \in (F \cap G) + (F \cap H)$. Il existe $x_{fg} \in F \cap G$ et $x_{fh} \in F \cap H$ tels que $x = x_{fg} + x_{fh}$.
    • Comme $x_{fg} \in F$ et $x_{fh} \in F$, la stabilitĂ© de $F$ implique que $x \in F$.
    • De plus, comme $x_{fg} \in G$ et $x_{fh} \in F \cap H$, la somme $x_{fg} + x_{fh}$ appartient Ă  $G + (F \cap H)$. Ainsi, $x \in F \cap(G+ (F \cap H))$.

    • Inclusion rĂ©ciproque ($\supset$) : Soit $x \in F \cap(G+ (F \cap H))$. On a $x \in F$ et il existe $g \in G$ et $x_{fh} \in F \cap H$ tels que $x = g + x_{fh}$.
    • Posons $x_{fg} = x - x_{fh}$. Puisque $x \in F$ et $x_{fh} \in F$, on a $x_{fg} \in F$.
    • Or $x_{fg} = g$, donc $x_{fg} \in G$. Par consĂ©quent, $x_{fg} \in F \cap G$.
    • On a ainsi dĂ©composĂ© $x = x_{fg} + x_{fh}$ avec $x_{fg} \in F \cap G$ et $x_{fh} \in F \cap H$, ce qui prouve que $x \in (F \cap G) + (F \cap H)$.

    Conclusion : par double inclusion, l'égalité est démontrée.

  4. DĂ©monstration de l'Ă©quivalence $F \cap G = F + G \Longleftrightarrow F = G$ :
    • Implication rĂ©ciproque ($\Longleftarrow$) : Supposons que $F = G$. Alors $F \cap G = F \cap F = F$ et $F + G = F + F = F$. L'Ă©galitĂ© $F \cap G = F + G$ est donc trivialement vĂ©rifiĂ©e.

    • Implication directe ($\Longrightarrow$) :
      Supposons que $F \cap G = F + G$. Montrons que $F = G$.
    • Soient $x_f \in F$ et $x_g \in G$ deux vecteurs quelconques.
    • Par dĂ©finition de la somme de deux sous-espaces, la somme $x_f + x_g$ appartient Ă  $F + G$.
    • Puisque $F + G = F \cap G$, on en dĂ©duit que $x_f + x_g \in F \cap G$.
      Notons ce vecteur: $~x_{fg} = x_f + x_g$.
    • On a ainsi $x_{fg} \in F$ et $x_{fg} \in G$.
    • Exprimons $x_f$ : on a $x_f = x_{fg} - x_g$. Comme $x_{fg} \in G$ et $x_g \in G$, la stabilitĂ© du sous-espace vectoriel $G$ implique que $x_f \in G$.
      Ceci prouve que $F \subset G$.
    • Exprimons $x_g$ : on a $x_g = x_{fg} - x_f$.
      Comme $x_{fg} \in F$ et $x_f \in F$, la stabilité du sous-espace vectoriel $F$ implique que $x_g \in F$.
      Ceci prouve que $G \subset F$.
    Conclusion :
    par double inclusion on a: $F = G$.
    Ce qui achÚve la démonstration de l'équivalence.