1. Soit $ \mathcal{E} $ l'ensemble des suites vérifiant: \[ u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n \]
    • La suite nulle vĂ©rifie la relation de rĂ©currence:
      ($ 0 = a\cdot 0 + b\cdot 0 $)
      Donc $ \mathcal{E}$ est non vide.
    • Soient $ (u_n), (v_n) \in \mathcal{E} $ et $ \lambda, \mu \in \mathbb R $.

      Pour tout $ n \in \mathbb N $ :
      \[ \lambda u_{n+2} + \mu v_{n+2} = a(\lambda u_{n+1} + \mu v_{n+1}) + b(\lambda u_n + \mu v_n) \] La suite $ (\lambda u_n + \mu v_n) $ appartient Ă  $ \mathcal{E} $.
    Ainsi, $ (\mathcal{E}, +, \cdot) $ est un sous-espace vectoriel de l'espace des suites réelles, c'est donc un $ \mathbb R $-espace vectoriel.
  2. Soit l'application (l'isomorphisme canonique s'Ă©tablit sur les conditions initiales) : \[ \begin{align*} \varphi : &\mathcal{E} \longrightarrow \mathbb R^2\\ &(u_n) \longmapsto (u_0, u_1) \end{align*} \]
      • LinĂ©aritĂ© : $ \varphi(\lambda u + \mu v) = (\lambda u_0 + \mu v_0, \lambda u_1 + \mu v_1) = \lambda\varphi(u) + \mu\varphi(v) $.
      • BijectivitĂ© : Une suite de $ \mathcal{E} $ est univoquement dĂ©terminĂ©e par ses deux premiers termes. Pour tout couple $ (x, y) \in \mathbb R^2 $, il existe un unique antĂ©cĂ©dent $ (u_n) \in \mathcal{E} $ tel que $ u_0 = x $ et $ u_1 = y $.
      $ \varphi $ est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
    2. Puisque $ \mathcal{E} $ est isomorphe à $ \mathbb R^2 $, on en déduit que :
      \[ \dim(\mathcal{E}) = \dim(\mathbb R^2) = 2 \]
  3. On suppose $ \Delta > 0 $. L'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes $ r_1 $ et $ r_2 $.
    1. Les suites $ (r_1^n) $ et $ (r_2^n) $ appartiennent Ă  $ \mathcal{E} $.
      Vérifions leur indépendance linéaire : soient $ \lambda, \mu \in \mathbb R $ tels que $ \lambda r_1^n + \mu r_2^n = 0 $ pour tout $ n \in \mathbb N $.
      Pour $ n=0 $ et $ n=1 $, on obtient :
      \[ \begin{cases} \lambda + \mu = 0 \\ \lambda r_1 + \mu r_2 = 0 \end{cases} \] Le déterminant du systÚme vaut $ ~(r_2 - r_1) \neq 0,~ $
      D'oĂč: $~ \lambda = \mu = 0 $.
      La famille est libre de cardinal 2, c'est donc une base de $ \mathcal{E} $.
    2. La forme générale est une combinaison linéaire des éléments de la base :
      \[ u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n \quad (\lambda, \mu \in \mathbb R) \]
    3. Équation caractĂ©ristique : $ X^2 - X - 1 = 0 \implies \Delta = 5 $.
      Racines : $ r_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $ et $ r_2 = \frac{1-\sqrt{5}}{2} $.
      Conditions initiales :
      \[ \begin{cases} \lambda + \mu = 1 \\ \lambda r_1 + \mu r_2 = 1 \end{cases} \implies \lambda = \frac{r_1}{\sqrt{5}} \quad \text{et} \quad \mu = -\frac{r_2}{\sqrt{5}} \] Expression finale :
      \[ u_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} \right) \]
  4. On suppose $ \Delta = 0 $, on a donc une racine double $~ r = \frac{a}{2} $.
    On a alors $~b = -r^2 $.
    1. La suite $ (r^n) $ appartient Ă  $ \mathcal{E} $.
      VĂ©rifions pour $ v_n = nr^n $ :
      \begin{align*} av_{n+1} + bv_n &= 2r(n+1)r^{n+1} - r^2 nr^n\\ & = (2n+2)r^{n+2} - nr^{n+2} \\ av_{n+1} + bv_n &= (n+2)r^{n+2} = v_{n+2} \end{align*} Donc $ (v_n=nr^n) \in \mathcal{E} $.
      Indépendance linéaire : $ \lambda r^n + \mu nr^n = 0 $.
      Pour $ n=0 \implies \lambda = 0 $. Pour $ n=1 \implies \mu r = 0 \implies \mu = 0 $ (car $ r \neq 0 $).
      La famille est libre de cardinal 2, c'est une base de $ \mathcal{E} $.
    2. La forme générale est :
      \[ u_n = (\lambda + \mu n) r^n \quad (\lambda, \mu \in \mathbb R) \]
    3. Équation caractĂ©ristique : $ X^2 - 4X + 4 = 0 \implies r = 2 $.
      Forme générale : $ u_n = (\lambda + \mu n) 2^n $.
      Conditions initiales :
      $ u_0 = 0 \implies \lambda = 0 $
      $ u_1 = 1 \implies 2\mu = 1 \implies \mu = \frac{1}{2} $.
      Expression finale :
      \[ u_n = n 2^{n-1} \]
  5. On suppose $ \Delta < 0 $.
    Dans ce cas, on a deux racines complexes conjuguées $ ~re^{i\theta} ~$ et $ ~re^{-i\theta} $.
    1. Par combinaison linéaire des solutions complexes, les parties réelle et imaginaire fournissent deux suites réelles dans $ \mathcal{E} $ : $ (r^n\cos(n\theta)) $ et $ (r^n\sin(n\theta)) $.
      Indépendance linéaire : $ \lambda r^n\cos(n\theta) + \mu r^n\sin(n\theta) = 0 $.
      Pour $ n=0 \implies \lambda = 0 $. Pour $ n=1 \implies \mu r\sin(\theta) = 0 \implies \mu = 0 $ (car $ r\neq 0 $ et $ \sin(\theta)\neq 0 $).
      La famille est libre de cardinal 2, c'est une base de $ \mathcal{E} $.
    2. La forme générale est :
      \[ u_n = r^n (\lambda \cos(n\theta) + \mu \sin(n\theta)) \quad (\lambda, \mu \in \mathbb R) \]
    3. Équation caractĂ©ristique : $ 4X^2 + 2X + 1 = 0 \implies \Delta = -12 $.
      Racines : $ z = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{4} $.
      Module $ r = \frac{1}{2} $ et argument $ \theta = \frac{2\pi}{3} $.
      Forme générale : $ u_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n \left(\lambda \cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right) + \mu \sin\left(\frac{2n\pi}{3}\right)\right) $.
      Conditions initiales :
      $ u_0 = 0 \implies \lambda = 0 $.
      $ u_1 = -1 \implies \frac{1}{2} \mu \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -1 \implies \frac{1}{2} \mu \frac{\sqrt{3}}{2} = -1 \implies \mu = -\frac{4}{\sqrt{3}} $.
      Expression finale :
      \[ u_n = -\frac{4}{\sqrt{3}} \left(\frac{1}{2}\right)^n \sin\left(\frac{2n\pi}{3}\right) \]