1. Pour la suite constante $(x_n) = 1$ s'écrit: \begin{cases} x_{n+1} &= a(x_n -1)+1\\x_0&=1 \end{cases} Ce qui équivaut à: \begin{cases} x_{n+1} &= ax_n +(1-a)\\x_0&=1 \end{cases} Elle appartient à $E_a$ avec le réel $b = 1-a$.

    Pour la suite $y_n = a^n$ : \begin{cases} y_{n+1} &= ay_n \\y_0&=1 \end{cases} Elle appartient à $~E_a~$ avec le réel $~b = 0$.

  2. Soient $b$ et $b'$ deux réels tels que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = au_n + b$ et $u_{n+1} = au_n + b'$.
    Par soustraction, on obtient $0 = b - b'$, d'oĂč $b = b'$.
    L'unicité est établie.

  3. Pour $a = 0$, la relation devient $u_{n+1} = b$.
    $E_0$ est l'ensemble des suites constantes Ă  partir du rang 1 (le premier terme $u_0$ est quelconque).

  4. Pour $a = 1$, la relation devient $u_{n+1} = u_n + b$.
    $E_1$ est l'ensemble des suites arithmétiques.

  5. La suite nulle vérifie $0 = a(0) + 0$, elle appartient à $E_a$ (avec $b=0$).
    Soient $(u_n), (v_n) \in E_a$ (de constantes respectives $b$ et $b'$) et $\lambda \in \mathbb{R}$.
    Soit $(w_n) = \lambda(u_n) + (v_n)$. On a :
    \[ w_{n+1} = \lambda u_{n+1} + v_{n+1} = \lambda(au_n + b) + (av_n + b') = a(\lambda u_n + v_n) + (\lambda b + b') \]
    \[ w_{n+1} = aw_n + (\lambda b + b') \] Ainsi, $(w_n) \in E_a$.

    $E_a$ est un sous-espace vectoriel de l'espace des suites réelles.

    1. Linéarité : Pour $\lambda \in \mathbb{R}$ et $(u_n), (v_n) \in E_a$ :
      \[ f(\lambda(u_n) + (v_n)) = (\lambda u_0 + v_0, \lambda u_1 + v_1) = \lambda(u_0, u_1) + (v_0, v_1) = \lambda f((u_n)) + f((v_n)) \]
      L'application $f$ est linéaire.

      Noyau : Soit $(u_n) \in \text{ker}(f)$. Alors $u_0 = 0$ et $u_1 = 0$.
      Comme $u_1 = au_0 + b$, on a $0 = a(0) + b \implies b = 0$.
      La relation de récurrence est donc: $~u_{n+1} = au_n$.
      Sachant que $~u_0 = 0$, une récurrence immédiate donne $\forall n \in \mathbb{N}, u_n = 0$.
      Le noyau est réduit à la suite nulle : $\text{ker}(f) = \{0_{E_a}\}$.

    2. L'application linéaire $f$ est injective (noyau trivial) de $E_a$ vers $\mathbb{R}^2$.
      Par conséquent, $\dim(E_a) \le \dim(\mathbb{R}^2) = 2$.

    1. Cas $a \neq 1$ :
      1. Soient $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ tels que $\forall n \in \mathbb{N}, \alpha x_n + \beta y_n = 0$.
        En Ă©valuant en $n=0$ et $n=1$, on obtient le systĂšme :
        \[ \begin{cases} \alpha + \beta = 0 \\ \alpha + a\beta = 0 \end{cases} \]
        Par soustraction, $\beta(a-1) = 0$.
        Comme $~a \neq 1$, on a $~\beta = 0$, puis $~\alpha = 0$.
        La famille est donc libre.

      2. La famille $((x_n), (y_n))$ est libre et contient 2 éléments dans un espace de dimension au plus 2.
        On en déduit que $\dim(E_a) = 2$ et que cette famille en est une base.

      3. Cherchons les coordonnées $(\alpha, \beta)$ telles que $u_n = \alpha x_n + \beta y_n = \alpha + \beta a^n$.
        En utilisant les termes initiaux :
        \[ \begin{cases} u_0 = \alpha + \beta \\ u_1 = \alpha + a\beta \end{cases} \implies \beta(a-1) = u_1 - u_0 \implies \beta = \frac{u_1 - u_0}{a-1} \]
        Et on en déduit $\alpha$ :
        \[ \alpha = u_0 - \beta = \frac{au_0 - u_0 - u_1 + u_0}{a-1} = \frac{au_0 - u_1}{a-1} \]
        Les coordonnées sont $\left( \frac{au_0 - u_1}{a-1}, \frac{u_1 - u_0}{a-1} \right)$.

    2. Cas $a = 1$ :
      1. Soient $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ tels que $\forall n \in \mathbb{N}, \alpha x_n + \beta z_n = 0$, soit $\alpha + \beta n = 0$.
        Pour $n=0$, on obtient $\alpha = 0$. Pour $n=1$, on a $\alpha + \beta = 0 \implies \beta = 0$. La famille est libre.

      2. De mĂȘme, la famille $((x_n), (z_n))$ est libre avec 2 Ă©lĂ©ments, et $\dim(E_1) \le 2$.
        Donc $\dim(E_1) = 2$ et $((x_n), (z_n))$ est une base.

      3. Cherchons les coordonnées $(\alpha, \beta)$ telles que $u_n = \alpha x_n + \beta z_n = \alpha + \beta n$.
        En $n=0$, on a $\alpha = u_0$.
        En $n=1$, on a $\alpha + \beta = u_1 \implies \beta = u_1 - u_0$.
        Les coordonnées sont $(u_0, u_1 - u_0)$.