1. Espace vectoriel $ E $
    On remarque que pour tout $ (a,b) \in \mathbb{R}^2 $, la matrice $M(a,b)$ s'écrit comme combinaison linéaire : \[ M(a,b) = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{3\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \] L'ensemble $ E $est engendré par ces deux matrices. C'est donc le sous-espace vectoriel$ \text{Vect}\left(I, \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{3\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}\right) $ de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. $(E, +, \cdot)$ est bien un espace vectoriel.

  2. Base $\mathcal{B} = (I, J)$ et dimension
    On observe que $M(a,b) = aI + \frac{\sqrt{2}}{2}bJ$. L'espace s'écrit donc $ E = \text{Vect}(I, J) $, la famille $\mathcal{B} = (I, J)$ est génératrice.
    Soient $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ tels que $\alpha I + \beta J = 0$. \[ \begin{pmatrix} \alpha+\beta & -\beta \\ 3\beta & \alpha-\beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] Par identification directe, on trouve $\beta = 0$ puis $\alpha = 0$. La famille est libre.
    $\mathcal{B}$ est une base de $E$ et $\dim(E) = 2$.

  3. Base $ (M(2,3), M(1,-2)) $
    Exprimons ces vecteurs dans la base $\mathcal{B}$ : $M(2,3) = 2I + \frac{3\sqrt{2}}{2}J$ et $M(1,-2) = I - \sqrt{2}J$.
    Leur déterminant dans la base $\mathcal{B}$ est : \[ \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ \frac{3\sqrt{2}}{2} & -\sqrt{2} \end{vmatrix} = 2(-\sqrt{2}) - 1\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{7\sqrt{2}}{2} \neq 0 \] La famille est libre. Puisque $ \dim(E) = 2 $, elle forme une base de $E$.

  4. Calcul de $J^2$ et inversion
    \[ J^2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3 & -1+1 \\ 3-3 & -3+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = -2I \] On en déduit l'égalité $J \times \left(-\frac{1}{2}J\right) = I$. La matrice $J$ est inversible et $J^{-1} = -\frac{1}{2}J$.

  5. Coordonnées de $ J^n $
    En utilisant $ J^2 = -2I $, on distingue les parités de $n$ :
    • Pour $n = 2k$ (pair) : $J^{2k} = (-2I)^k = (-2)^k I$. Les coordonnĂ©es dans $\mathcal{B}$ sont $((-2)^k, 0)$.
    • Pour $n = 2k+1$ (impair) : $J^{2k+1} = J^{2k} \times J = (-2)^k J$. Les coordonnĂ©es dans $\mathcal{B}$ sont $(0, (-2)^k)$.

  6. Produit $ M(a,b) \times M(c,d) $
    Posons $K = \frac{\sqrt{2}}{2}J$. On a $K^2 = \frac{1}{2}J^2 = \frac{1}{2}(-2I) = -I$.
    Sachant que $M(a,b) = aI + bK$ : \[ M(a,b) \times M(c,d) = (aI + bK)(cI + dK) = acI + adK + bcK + bdK^2 \] \[ M(a,b) \times M(c,d) = acI + (ad+bc)K - bdI = (ac-bd)I + (ad+bc)K \] Ce résultat correspond exactement à la matrice $M(ac-bd, ad+bc)$.

  7. Anneau commutatif unitaire
    $(E, +)$ est un sous-groupe additif (car sous-espace vectoriel).
    D'aprÚs la question précédente, la multiplication est interne à $E$. Elle est également commutative car $ac-bd = ca-db$ et $ad+bc = da+cb$ (symétrie des réels).
    La matrice $I = M(1,0) \in E$ est l'élément neutre de la multiplication.
    $(E, +, \cdot)$ est donc un anneau commutatif unitaire.

  8. Isomorphisme $ f : \mathbb{C} \to E $
    L'application $f$ est trivialement bijective par définition des éléments de $E$.
    Montrons qu'elle conserve la multiplication : \[ f((a+ib)(c+id)) = f((ac-bd) + i(ad+bc)) = M(ac-bd, ad+bc) \] D'aprĂšs la question 6 : \[ f((a+ib)(c+id)) = M(a,b) \times M(c,d) = f(a+ib) \times f(c+id) \] $f$ est bien un isomorphisme de $(\mathbb{C}, \times)$ vers $(E, \cdot)$.

  9. Inversibilité et inverse de $ M(a,b) $
    Soit $(a,b) \neq (0,0)$. Le nombre $z = a+ib$ est non nul donc inversible dans $\mathbb{C}$ avec $z^{-1} = \frac{a}{a^2+b^2} - i\frac{b}{a^2+b^2}$.
    Par l'isomorphisme $ f $, $M(a,b) = f(z)$ est inversible dans $E$ et son inverse est $f(z^{-1})$ : \[ M(a,b)^{-1} = M\left(\frac{a}{a^2+b^2}, \frac{-b}{a^2+b^2}\right) \]

  10. Corps commutatif
    $(E, +, \cdot)$ est un anneau commutatif unitaire et la question précédente montre que tout élément non nul est inversible. C'est par conséquent un corps commutatif.

  11. RĂ©solution de $ X^3 = I $
    Par l'isomorphisme inverse $ f^{-1} $, l'Ă©quation $X^3 = I$ dans $E$ est Ă©quivalente Ă  $z^3 = 1$ dans $\mathbb{C}$.
    Les racines cubiques de l'unité dans $\mathbb{C}$ sont : $ z_0 = 1 $, $ z_1 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} $, et $z_2 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
    Les solutions dans $E$ s'obtiennent en appliquant $f$ :
    • $ X_0 = f(1) = M(1,0) = I $
    • $ X_1 = f\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $
    • $ X_2 = f\left(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $