1. Base de $ \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) $
    Soient $ a, b, c $ et $ d $ des réels tels que $ aI + bJ + cK + dL = 0_2 $. \[ \left(\begin{array}{cc} a+d & b+c \\ -b+c & a-d \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \] Par identification, on obtient le systÚme suivant : \[ \begin{cases} a+d = 0 \\ a-d = 0 \end{cases} \implies a = 0 \text{ et } d = 0 \] \[ \begin{cases} b+c = 0 \\ -b+c = 0 \end{cases} \implies b = 0 \text{ et } c = 0 \] La famille $ (I, J, K, L) $ est donc linéairement indépendante. Puisqu'elle est constituée de $ 4 $ matrices dans l'espace $ \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) $ qui est de dimension $ 4 $, c'est une base de $ \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) $.

    1. Sous-espace vectoriel $ C $
      Par dĂ©finition, l'ensemble $ C $ s'Ă©crit $ C = \text{Vect}(I, J) $. Étant l'espace engendrĂ© par la famille $ (I, J) $, $ C $ est un sous-espace vectoriel de $ \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) $.

    2. Produits matriciels et caractérisation de $ C $
      Par calcul direct :
      • $ J^2 = \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) = -I $
      • $ KJ = \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) = -L $
      • $ LJ = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) = K $
      • $ JK = \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) = L $
      • $ JL = \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{array}\right) = -K $

      Soit une matrice quelconque $ M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) $. Puisque $ (I, J, K, L) $ est une base, il existe d'uniques rĂ©els $ a, b, c, d $ tels que $ M = aI + bJ + cK + dL $. Évaluons $ JM $ et $ MJ $ en utilisant les relations prĂ©cĂ©dentes : \[ JM = J(aI + bJ + cK + dL) = aJ - bI + cL - dK \] \[ MJ = (aI + bJ + cK + dL)J = aJ - bI - cL + dK \] On obtient alors l'Ă©quivalence : \[ JM = MJ \iff cL - dK = -cL + dK \iff 2cL - 2dK = 0_2 \] Comme la famille $ (K, L) $ est libre, cette Ă©galitĂ© implique $ c = 0 $ et $ d = 0 $. Ainsi, $ JM = MJ \iff M = aI + bJ \iff M \in C $.

    3. Stabilité par multiplication
      Soient $ M = aI + bJ $ et $ M' = a'I + b'J $ deux matrices de $ C $. \[ MM' = (aI + bJ)(a'I + b'J) = aa'I^2 + ab'IJ + a'bJI + bb'J^2 \] Sachant que $ I $ est l'élément neutre de la multiplication matricielle et que $ J^2 = -I $ : \[ MM' = (aa' - bb')I + (ab' + a'b)J \] Le produit $ MM' $ est bien une combinaison linéaire de $ I $ et $ J $, donc $ C $ est stable par multiplication.

    4. Structure de corps et description
      L'ensemble $ C $ muni de l'addition et de la multiplication est un anneau commutatif (la commutativité est assurée car pour tout $ M \in C $, $ JM = MJ $, et par extension toute matrice de $ C $ commute avec une autre). Son élément unité est $ I $.

      Soit $ M = aI + bJ \in C $ avec $ M \neq 0_2 $, ce qui implique $ (a, b) \neq (0, 0) $. Le déterminant de cette matrice est : \[ \det(M) = \det\left(\begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array}\right) = a^2 + b^2 \] Puisque $ (a,b) \neq (0,0) $, on a $ a^2 + b^2 > 0 $. La matrice $ M $ est donc inversible, et son inverse est : \[ M^{-1} = \frac{1}{a^2+b^2} \left(\begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array}\right) = \frac{a}{a^2+b^2}I - \frac{b}{a^2+b^2}J \] On constate que $ M^{-1} $ s'écrit comme une combinaison linéaire de $ I $ et $ J $, donc $ M^{-1} \in C $. Tout élément non nul admettant un inverse dans $ C $, l'espace vectoriel $ C $ est un corps.

      Description des Ă©lĂ©ments : Les Ă©lĂ©ments de $ C $ sont toutes les matrices de la forme $ \left(\begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array}\right) $. Ils se comportent de maniĂšre identique aux nombres complexes $ a+ib $, oĂč la matrice $ I $ joue le rĂŽle de $ 1 $ et la matrice $ J $ joue le rĂŽle de l'unitĂ© imaginaire $ i $ (puisque $ J^2 = -I $).