1. Structure d'espace vectoriel et base
    Par définition, $E = \text{Vect}(I, J, K, L)$. C'est donc un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_4(\mathbb{R})$.
    Pour montrer que la famille $(I, J, K, L)$ est une base, vérifions qu'elle est libre. Soient $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ tels que $aI + bJ + cK + dL = 0$.
    En examinant la premiÚre colonne de cette équation matricielle, on obtient : \[ \begin{pmatrix} a \\ b \\ d \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Ainsi, $a = b = c = d = 0$. La famille est libre et génératrice de $ E $, c'est donc une base de $E$.

  2. Calcul des puissances
    Par calcul matriciel direct :
    • $ J^2 = \left(\begin{array}{cccc} 0&0&0&1 \\ 1&0&0&0\\0&1&0&0\\ 0&0&1&0 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{cccc} 0&0&0&1 \\ 1&0&0&0\\0&1&0&0\\ 0&0&1&0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc} 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1\\1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \end{array}\right) = L \in E $

    • $ K^2 = \left(\begin{array}{cccc} 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\\ 1&0&0&0 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{cccc} 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\\ 1&0&0&0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc} 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1\\1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \end{array}\right) = L \in E $

    • $ L^2 = \left(\begin{array}{cccc} 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1\\1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{cccc} 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1\\1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0\\0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}\right) = I \in E $

    • $ J^3 = J^2 \times J = L \times J = \left(\begin{array}{cccc} 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1\\1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{cccc} 0&0&0&1 \\ 1&0&0&0\\0&1&0&0\\ 0&0&1&0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc} 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\\ 1&0&0&0 \end{array}\right) = K \in E $

    • $ L^3 = L^2 \times L = I \times L = L \in E $

  3. Produits croisés
    En utilisant les relations établies à la question précédente ($J^2=L, J^3=K, L^2=I$) et l'associativité du produit matriciel :
    • $ JK = J(J^3) = J^4 = J^2 J^2 = L^2 = I \in E $
    • $ KJ = (J^3)J = J^4 = I \in E $
    • $ JL = J(J^2) = J^3 = K \in E $
    • $ LJ = (J^2)J = J^3 = K \in E $
    • $ KL = (J^3)(J^2) = J^5 = J^4 J = IJ = J \in E $
    • $ LK = (J^2)(J^3) = J^5 = J \in E $

  4. Stabilité de $E$ par multiplication
    Soient $M, M' \in E$. On peut les Ă©crire $M = aI + bJ + cK + dL$ et $M' = a'I + b'J + c'K + d'L$.
    Par bilinéarité du produit matriciel, le développement de $ MM' $ est une somme de termes qui sont des multiples scalaires de produits formés de deux éléments de la base $(I, J, K, L)$.
    D'aprĂšs les calculs des questions 2 et 3, le produit de n'importe quelle paire de matrices de la base donne une matrice qui appartient elle-mĂȘme Ă  la base ($I, J, K$ ou $L$). La combinaison linĂ©aire de ces produits appartient donc Ă  $\text{Vect}(I, J, K, L) = E$.
    Conclusion :
    $E$ est stable par la multiplication matricielle.