1. Base canonique et dimension
    Tout polynôme $P \in E$ s'écrit de manière unique sous la forme $P(X) = a + bX + cX^2$ avec $(a, b, c) \in \mathbb{R}^3$.
    La famille $(1, X, X^2)$ est donc génératrice de $E$.
    Soient $a, b, c \in \mathbb{R}$ tels que $a \cdot 1 + bX + cX^2 = 0$.
    Ce polynôme admet une infinité de racines, ses coefficients sont donc tous nuls : $a = b = c = 0$.
    La famille est linéairement indépendante.
    Étant génératrice et linéairement indépendante, $(1, X, X^2)$ est une base de $E$.
    Le nombre d'éléments de cette base est 3, donc $\dim(E) = 3$.

  2. Existence, unicité et formule des polynômes $ P_i $
    Soit $i \in \{0, 1, 2\}$. Notons $j$ et $ k $les deux autres éléments de l'ensemble. Les conditions$ P_i(j) = 0 $ et $P_i(k) = 0$ impliquent que $j$ et $k$ sont racines de $P_i$.
    Puisque $ \deg(P_i) \le 2 $, il existe une constante $C \in \mathbb{R}$ telle que : \[ P_i(X) = C(X - j)(X - k) \] La condition $P_i(i) = 1$ impose $ C(i - j)(i - k) = 1 $, ce qui détermine un unique scalaire $C = \frac{1}{(i - j)(i - k)}$. L'existence et l'unicité sont ainsi démontrées.
    Les formules pour chaque polynôme sont :
    • $ P_0(X) = \frac{(X - 1)(X - 2)}{(0 - 1)(0 - 2)} $
    • $ P_1(X) = \frac{(X - 0)(X - 2)}{(1 - 0)(1 - 2)} $
    • $ P_2(X) = \frac{(X - 0)(X - 1)}{(2 - 0)(2 - 1)} $

  3. Indépendance linéaire et base de $ E $
    Soient $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$ tels que $\alpha P_0 + \beta P_1 + \gamma P_2 = 0$.
    En évaluant cette expression respectivement en $ X=0 $, $X=1$ et $ X=2 $, et en utilisant les propriétés des $ P_i $, on obtient :
    • En $X=0$ : $ \alpha(1) + \beta(0) + \gamma(0) = 0 \implies \alpha = 0 $
    • En $X=1$ : $ 0 + \beta(1) + 0 = 0 \implies \beta = 0 $
    • En $X=2$ : $ 0 + 0 + \gamma(1) = 0 \implies \gamma = 0 $
    La famille $(P_0, P_1, P_2)$ est donc linéairement indépendante.
    Comme $\dim(E) = 3$ et que cette famille linéairement indépendante contient 3 vecteurs, c'est une base de $E$.

  4. Expression analytique d'un polynôme $ Q $
    Puisque $(P_0, P_1, P_2)$ est une base de $ E $, tout polynôme $Q \in E$ se décompose de manière unique sur cette base. Il existe des scalaires $a_0, a_1, a_2$ tels que : \[ Q(X) = a_0 P_0(X) + a_1 P_1(X) + a_2 P_2(X) \] En évaluant cette égalité en $X=j$ pour $ j \in \{0, 1, 2\} $, sachant que $P_i(j) = 1$ si $i=j$ et $0$ sinon, on obtient : \[ Q(j) = a_j P_j(j) = a_j \] On en déduit l'expression finale : \[ Q(X) = Q(0) P_0(X) + Q(1) P_1(X) + Q(2) P_2(X) = \sum_{j=0}^2 Q(j) P_j(X) \]