1. Non.
    Pour qu'un sous-ensemble soit un sous-espace vectoriel, il doit impérativement contenir le vecteur nul de $ E $, qui est le polynÎme nul. Or, le degré du polynÎme nul est $-\infty \neq 1$.
    De plus, cet ensemble n'est pas stable par addition : la somme des polynÎmes $P = X$ et $Q = -X+1$ donne $ P+Q = 1 $, qui est un polynÎme de degré 0.

  2. Non.
    L'ensemble n'est pas stable par produit externe (multiplication par un scalaire). Si on considÚre une suite strictement croissante, par exemple la suite définie par $ u_n = n $, et qu'on la multiplie par le scalaire $ \lambda = -1 $, on obtient la suite de terme général $ -n $, qui est strictement décroissante. Elle n'appartient donc plus à l'ensemble.

  3. Non.
    L'ensemble des matrices telles que $ad-bc=0$ (matrices de déterminant nul) n'est pas stable par addition. Considérons les deux matrices suivantes de l'ensemble : \[ A = \left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & 0\end{array}\right) \quad \text{et} \quad B = \left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\0 & 1\end{array}\right) \] Leur somme est la matrice identité : \[ A + B = \left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right) \] Pour cette matrice, $ad-bc = 1 \times 1 - 0 \times 0 = 1 \neq 0$. Elle n'appartient donc pas à l'ensemble.

  4. Oui.
    Soit $F$ l'ensemble des matrices vérifiant $a+d=0$.
    • La matrice nulle $O_2$ appartient Ă  $F$ car $0+0=0$.
    • Soient $M = \left(\begin{array}{cc}a & b \\c & d\end{array}\right)$ et $M' = \left(\begin{array}{cc}a' & b' \\c' & d'\end{array}\right)$ deux Ă©lĂ©ments de $ F $, et $\lambda$ un scalaire. La combinaison linĂ©aire $\lambda M + M'$ s'Ă©crit : \[ \lambda M + M' = \left(\begin{array}{cc}\lambda a + a' & \lambda b + b' \\\lambda c + c' & \lambda d + d'\end{array}\right) \] VĂ©rifions la condition pour cette nouvelle matrice : \[ (\lambda a + a') + (\lambda d + d') = \lambda(a+d) + (a'+d') \] Comme $M$ et $ M' $ appartiennent Ă  $ F $, on a $a+d=0$ et $a'+d'=0$. Ainsi : \[ \lambda(0) + 0 = 0 \] La condition est vĂ©rifiĂ©e. $ F $est stable par combinaison linĂ©aire, c'est donc un sous-espace vectoriel de$ E $.