1. Espace vectoriel sur $ \mathbb{R} $
    Pour que $ (\mathbb{R}, \oplus, \odot) $ soit un espace vectoriel, l'axiome de l'Ă©lĂ©ment neutre de la loi externe doit ĂȘtre vĂ©rifiĂ© : $ 1 \odot x = x $ pour tout $ x \in \mathbb{R} $. \[ 1 \odot x = 1 + x - (1)x = 1 \] En choisissant $ x = 0 $, on obtient $ 1 \odot 0 = 1 \neq 0 $. L'axiome n'est donc pas vĂ©rifiĂ©.
    Conclusion : $ (\mathbb{R}, \oplus, \odot) $ n'est pas un espace vectoriel sur $ \mathbb{R} $.

  2. Structure de corps
    Pour que $ (\mathbb{R}, \oplus, \odot) $ soit un corps, la loi $ \odot $ doit ĂȘtre distributive par rapport Ă  la loi $ \oplus $.
    Vérifions la distributivité avec un contre-exemple en choisissant $ z=1, x=0 $ et $ y=0 $ :
    • $ 1 \odot (0 \oplus 0) = 1 \odot (0+0+1) = 1 \odot 1 = 1 + 1 - (1)(1) = 1 $
    • $ (1 \odot 0) \oplus (1 \odot 0) = 1 \oplus 1 = 1 + 1 + 1 = 3 $
    Puisque $ 1 \neq 3 $, la distributivité n'est pas vérifiée.
    Conclusion : $ (\mathbb{R}, \oplus, \odot) $ n'est pas un corps.