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Soit $E = \{z \in \mathbb{C} \mid \text{Im}(z) > 0\}$. Pour tout $ z \in E $, on peut écrire $z = a+ib$ avec $a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}_+^*$.

Pour démontrer que $(E, \oplus, \odot)$ est un $ \mathbb{R} $-espace vectoriel, nous devons vérifier que $(E, \oplus)$ est un groupe commutatif et que la loi externe $\odot$ vérifie les quatre axiomes fondamentaux.

1. $(E, \oplus)$ est un groupe commutatif

• Loi de composition interne : Pour $z = a+ib$ et $z' = a'+ib'$ dans $ E $, on a : \[ z \oplus z' = (a+a') + i(bb') \] Puisque $ b > 0 $ et $ b' > 0 $, leur produit $ bb' > 0 $. Donc $z \oplus z' \in E$.


• Commutativité : L'addition dans $\mathbb{R}$ et la multiplication dans $\mathbb{R}$ étant commutatives, on a : \[ z \oplus z' = (a+a') + i(bb') = (a'+a) + i(b'b) = z' \oplus z \]


• Associativité : Pour $ z, z', z'' \in E $, par associativité des lois usuelles sur $\mathbb{R}$ : \[ (z \oplus z') \oplus z'' = (a+a'+a'') + i(bb'b'') = z \oplus (z' \oplus z'') \]


• Élément neutre : Cherchons $e_E = \alpha + i\beta \in E$ tel que $z \oplus e_E = z$. \[ (a+\alpha) + i(b\beta) = a+ib \implies \alpha = 0 \quad \text{et} \quad \beta = 1 \] L'élément neutre est donc $e_E = 0 + i(1) = i$.
  On vérifie bien que $ \text{Im}(i) = 1 > 0 $, donc $i \in E$.


• Symétrique (Opposé) : Pour $ z = a+ib \in E $, cherchons $z_{sym} = a_{sym} + ib_{sym} \in E$ tel que $z \oplus z_{sym} = i$. \[ (a+a_{sym}) + i(bb_{sym}) = 0 + i \implies a_{sym} = -a \quad \text{et} \quad b_{sym} = \frac{1}{b} \] Le symétrique de $z$ est $z_{sym} = -a + i\frac{1}{b}$.
  Puisque $ b > 0 \implies \frac{1}{b} > 0 $, on a bien $z_{sym} \in E$.

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2. Propriétés de la loi externe $ \odot $

Soient $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ et $z = a+ib, z' = a'+ib' \in E$.

• Stabilité : $\lambda \odot z = \lambda a + ib^\lambda$. Puisque $ b > 0 $, on a $b^\lambda > 0$. Ainsi, la loi externe est bien à valeurs dans $E$.


• Distributivité par rapport à l'addition vectorielle : \[ \lambda \odot (z \oplus z') = \lambda \odot ((a+a') + i(bb')) = \lambda(a+a') + i(bb')^\lambda \] \[ \lambda \odot (z \oplus z') = (\lambda a + \lambda a') + i(b^\lambda b'^\lambda) = (\lambda a + ib^\lambda) \oplus (\lambda a' + ib'^\lambda) = (\lambda \odot z) \oplus (\lambda \odot z') \]


• Distributivité par rapport à l'addition scalaire : \[ (\lambda + \mu) \odot z = (\lambda + \mu)a + ib^{\lambda + \mu} = (\lambda a + \mu a) + i(b^\lambda b^\mu) \] \[ (\lambda + \mu) \odot z = (\lambda a + ib^\lambda) \oplus (\mu a + ib^\mu) = (\lambda \odot z) \oplus (\mu \odot z) \]


• Associativité mixte : \[ \lambda \odot (\mu \odot z) = \lambda \odot (\mu a + ib^\mu) = \lambda(\mu a) + i(b^\mu)^\lambda \] \[ \lambda \odot (\mu \odot z) = (\lambda\mu)a + ib^{\lambda\mu} = (\lambda\mu) \odot z \]


• Élément unité scalaire : \[ 1 \odot z = 1a + ib^1 = a+ib = z \]

Conclusion : L'ensemble $ E $, muni des lois $\oplus$ et $ \odot $, vérifie tous les axiomes requis. C'est donc un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$.