1. L'expérience consiste à tirer sans remise toutes les boules de l'urne. Le nombre total de tirages possibles correspond au nombre de permutations de $n$ éléments, soit $n!$.
    Pour que les boules $1$, $2$ et $3$ sortent consécutivement et dans cet ordre, on considÚre la suite $(1, 2, 3)$ comme un seul bloc indissociable. Il reste donc $(n-3)$ autres boules, ce qui donne un total de $(n-3) + 1 = n-2$ éléments à permuter.
    Le nombre de tirages favorables est de $(n-2)!$. \[ p = \frac{(n-2)!}{n!} = \frac{(n-2)!}{n(n-1)(n-2)!} \] Soit : \[ p = \frac{1}{n(n-1)} \]
  2. Pour que les boules $1$, $2$ et $3$ sortent dans cet ordre (consécutivement ou pas), on peut choisir d'abord leurs $3$ positions parmi les $n$ tirages possibles, ce qui donne $C_n^3$ choix. Il n'y a qu'une seule façon de placer ces $3$ boules dans l'ordre demandé pour ces positions.
    Ensuite, on permute les $(n-3)$ boules restantes dans les $(n-3)$ positions restantes, ce qui donne $(n-3)!$ possibilités.
    Le nombre de tirages favorables est $C_n^3 \times 1 \times (n-3)!$. \begin{align*} p &= \frac{C_n^3 \times (n-3)!}{n!} \\ &= \frac{\frac{n!}{3!(n-3)!} \times (n-3)!}{n!} \\ &= \frac{\frac{n!}{6}}{n!} \end{align*} Ce qui implique : \[ p = \frac{1}{6} \]
  3. La variable aléatoire $X_n$ représente le nombre de tirages nécessaires pour obtenir l'ensemble des trois boules $\{1, 2, 3\}$. Les valeurs possibles de $X_n$ sont : \[ X_n(\Omega) = \{3, 4, \dots, n\} \] Soit $k \in X_n(\Omega)$. L'événement $(X_n = k)$ est réalisé si et seulement si la $k$-iÚme boule tirée est l'une des boules $\{1, 2, 3\}$, et que parmi les $(k-1)$ premiers tirages figurent exactement les deux autres boules de cet ensemble.
    Pour dénombrer les tirages favorables, on procÚde ainsi :
    • On choisit la position des $2$ autres boules parmi les $(k-1)$ premiers tirages : $C_{k-1}^2$ choix.
    • On permute les $3$ boules $\{1, 2, 3\}$ dans ces $3$ positions (les $2$ positions choisies et la $k$-iĂšme) : $3!$ permutations.
    • On permute les $(n-3)$ boules restantes dans les $(n-3)$ positions restantes : $(n-3)!$ permutations.
    Le nombre de cas favorables est donc $C_{k-1}^2 \times 3! \times (n-3)!$. \begin{align*} p(X_n = k) &= \frac{C_{k-1}^2 \times 3! \times (n-3)!}{n!} \\ &= \frac{\frac{(k-1)(k-2)}{2} \times 6 \times (n-3)!}{n(n-1)(n-2)(n-3)!} \\ &= \frac{3(k-1)(k-2)}{n(n-1)(n-2)} \end{align*} Soit : \[ p(X_n = k) = \frac{3(k-1)(k-2)}{n(n-1)(n-2)} \quad \text{pour } k \in \{3, 4, \dots, n\} \]