1. L'expérience s'effectue dans l'urne $U$ si et seulement si la boule tirée de l'urne $W$ est blanche.
    L'urne $W$ contient 1 boule noire et 2 boules blanches (soit 3 boules au total).
    La probabilité que le tirage soit de l'urne $U$ correspond à la probabilité de tirer une boule blanche de $W$ : \[ p(U) = \frac{2}{3} \]
  2. Soit $B_2$ l'événement : « Obtenir deux boules blanches ».
    D'aprÚs la formule des probabilités totales : \[ p(B_2) = p(U)p(B_2|U) + p(V)p(B_2|V) \]
    • Si on tire dans $U$, c'est qu'on y a ajoutĂ© une boule blanche. $U$ contient alors 3 boules blanches et 2 boules noires (total de 5 boules).
      Le tirage est simultané ($C_5^2 = 10$ possibilités).
      \[ p(B_2|U) = \frac{C_3^2}{C_5^2} = \frac{3}{10} \]
    • L'Ă©vĂ©nement $V$ est rĂ©alisĂ© si on tire une boule noire de $W$ (probabilitĂ© $p(V) = 1 - p(U) = \frac{1}{3}$).
      Dans ce cas, on ajoute une boule noire dans $V$.
      $V$ contient alors 2 boules blanches et 3 boules noires (total de 5 boules).
      \[ p(B_2|V) = \frac{C_2^2}{C_5^2} = \frac{1}{10} \]
    \begin{align*} p(B_2) &= \frac{2}{3} \times \frac{3}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{10} \\ &= \frac{6}{30} + \frac{1}{30} \end{align*} Ce qui implique : \[ p(B_2) = \frac{7}{30} \]
  3. La variable aléatoire $X$ représente le nombre de boules blanches obtenues à la fin.
    Puisqu'on tire deux boules, les valeurs possibles sont : \[ X(\Omega) = \{0, 1, 2\} \] Nous avons déjà calculé $p(X=2) = p(B_2) = \frac{7}{30}$.

    Pour $p(X=0)$ (obtenir deux boules noires) : \begin{align*} p(X=0) &= p(U)p(X=0|U) + p(V)p(X=0|V) \\ &= \frac{2}{3} \times \frac{C_2^2}{C_5^2} + \frac{1}{3} \times \frac{C_3^2}{C_5^2} \\ &= \frac{2}{3} \times \frac{1}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{10} \\ &= \frac{2}{30} + \frac{3}{30} \end{align*} Soit : \[ p(X=0) = \frac{1}{6} \]
    Pour $p(X=1)$ (obtenir une boule blanche et une boule noire) : \begin{align*} p(X=1) &= p(U)p(X=1|U) + p(V)p(X=1|V) \\ &= \frac{2}{3} \times \frac{C_3^1 \times C_2^1}{C_5^2} + \frac{1}{3} \times \frac{C_2^1 \times C_3^1}{C_5^2} \\ &= \frac{2}{3} \times \frac{6}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{6}{10} \\ &= \frac{12}{30} + \frac{6}{30} \end{align*} Soit : \[ p(X=1) = \frac{3}{5} \]
    La loi de probabilité de $X$ est résumée ainsi :
    • $p(X=0) = \frac{1}{6}$
    • $p(X=1) = \frac{3}{5}$
    • $p(X=2) = \frac{7}{30}$