1. Le tirage de deux boules est simultanĂ©. Puisque le nombre maximal de boules rouges dans une urne est de $ 3 $ (urne $ U_3 $), le nombre de boules rouges tirĂ©es peut ĂȘtre $ 0 $, $ 1 $ ou $ 2 $.
    Les valeurs possibles prises par $ X $ sont : $ X(\Omega) = \{0, 1, 2\} $.
  2. D'aprÚs la formule des probabilités totales : \[ p(X=2) = \sum_{i=1}^{3} p(U_i) p(X=2|U_i) \] Le choix de l'urne est équiprobable, donc $ p(U_1) = p(U_2) = p(U_3) = \frac{1}{3} $.
    Le nombre total de tirages possibles pour chaque urne est $ C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2} $.
    • $ p(X=2|U_1) = 0 $ (une seule boule rouge dans $ U_1 $).
    • $ p(X=2|U_2) = \frac{C_2^2}{C_n^2} = \frac{1}{C_n^2} $.
    • $ p(X=2|U_3) = \frac{C_3^2}{C_n^2} = \frac{3}{C_n^2} $.
    En remplaçant dans la formule : \[ p(X=2) = \frac{1}{3} \left( 0 + \frac{1}{C_n^2} + \frac{3}{C_n^2} \right) = \frac{4}{3 C_n^2} \] En substituant, $~ C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}~,~$ on obtient : \[ p(X=2) = \frac{4}{3 \left( \frac{n(n-1)}{2} \right)} \] Soit: \[p(X=2)= \frac{8}{3n(n-1)} \]
  3. En appliquant la mĂȘme dĂ©marche pour $ (X=1) $ : \[ p(X=1) = p(U_1)p(X=1|U_1) + p(U_2)p(X=1|U_2) + p(U_3)p(X=1|U_3) \]
    • $ p(X=1|U_1) = \frac{C_1^1 \times C_{n-1}^1}{C_n^2} = \frac{n-1}{C_n^2} $
    • $ p(X=1|U_2) = \frac{C_2^1 \times C_{n-2}^1}{C_n^2} = \frac{2(n-2)}{C_n^2} $
    • $ p(X=1|U_3) = \frac{C_3^1 \times C_{n-3}^1}{C_n^2} = \frac{3(n-3)}{C_n^2} $
    \[ p(X=1) = \frac{1}{3} \left( \frac{n-1 + 2n-4 + 3n-9}{C_n^2} \right) = \frac{6n-14}{3 C_n^2} \] Soit: \[ p(X=1) = \frac{4(3n-7)}{3n(n-1)} \]
  4. La somme des probabilités d'une loi de probabilité est égale à $ 1 $, donc: \[ p(X=0) = 1 - (p(X=1) + p(X=2))\] Ce qui implique: \[ p(X=0) = 1 - \left( \frac{12n - 28}{3n(n-1)} + \frac{8}{3n(n-1)} \right) = 1 - \frac{12n - 20}{3n(n-1)} \] Soit: \[p(X=0) = \frac{3n^2 - 15n + 20}{3n(n-1)} \] La loi de probabilité de $ X $ est résumée ainsi :
    • $ p(X=0) = \frac{3n^2 - 15n + 20}{3n(n-1)} $
    • $ p(X=1) = \frac{4(3n-7)}{3n(n-1)} $
    • $ p(X=2) = \frac{8}{3n(n-1)} $
  5. On cherche la probabilité conditionnelle $ p(U_3|X=2) $ : \[ p(U_3|X=2) = \frac{p(U_3 \cap (X=2))}{p(X=2)} = \frac{p(U_3) p(X=2|U_3)}{p(X=2)} \] D'aprÚs les calculs précédents, on a: \[ p(U_3) p(X=2|U_3) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{C_n^2} = \frac{1}{C_n^2} = \frac{2}{n(n-1)} \] Ce qui implique: \[ p(U_3|X=2) = \frac{\frac{2}{n(n-1)}}{\frac{8}{3n(n-1)}}\] Soit: \[p(U_3|X=2) = \frac{3}{4} \]