1. On a: \[ p = P(B) = \frac{1}{4} \qquad \text{et} \qquad q = p(R) = \frac{3}{4}\] Remarquons que: \[ p + q = 1 \]
    L'événement $ (X=2) $ est réalisé par les suites $ BB $ ou $ RR $ : \[ P(X=2) = p^2 + q^2 \] Soit:\[P(X=2) = \frac{5}{8} \] L'événement $ (X=3) $ est réalisé par les suites $ BRR $ ou $ RBB $ : \[ P(X=3) = pq^2 + p^2q = pq(p+q) = pq \] Soit: \[P(X=3) = \frac{3}{16} \]
  2. L'événement $ (X=2k) $ correspond à une alternance stricte de couleurs sur les $ 2k-1 $ premiers tirages, le $ 2k $-iÚme répétant la derniÚre couleur.

    Les deux suites possibles sont :
    - $ \underbrace{B R B R \dots B}_{2k-1 \text{ tirages}} B $ : contient $ k+1 $ boules blanches et $ k-1 $ boules rouges.
    Sa probabilité est $ p^{k+1}q^{k-1} $.

    - $ \underbrace{R B R B \dots R}_{2k-1 \text{ tirages}} R $ : contient $ k-1 $ boules blanches et $ k+1 $ boules rouges.
    Sa probabilité est $ p^{k-1}q^{k+1} $. \[ p(X=2k) = p^{k+1}q^{k-1} + p^{k-1}q^{k+1} \] \[ p(X=2k) = p^{k-1}q^{k-1}(p^2 + q^2) = (pq)^{k-1}(p^2 + q^2) \] En remplaçant par les valeurs calculées $ ~~pq = \frac{3}{16} ~$ et $ ~p^2 + q^2 = \frac{5}{8} $: \[ p(X=2k) = \frac{5}{8}\left(\frac{3}{16}\right)^{k-1} \]
  3. L'événement $ (X=2k+1) $ correspond à une alternance stricte sur les $ 2k $ premiers tirages, suivie de la répétition de la derniÚre couleur.
    Les suites possibles sont :
    - $ \underbrace{R B R B \dots B}_{2k \text{ tirages}} B $ : contient $ k+1 $ boules blanches et $ k $ boules rouges.
    Sa probabilité est $~ p^{k+1}q^k $.
    - $ \underbrace{B R B R \dots R}_{2k \text{ tirages}} R $ : contient $ k $ boules blanches et $ k+1 $ boules rouges.
    Sa probabilité est $ p^kq^{k+1} $. \[ p(X=2k+1) = p^{k+1}q^k + p^kq^{k+1} \] \[ p(X=2k+1) = p^kq^k(p + q) = (pq)^k(p + q) \] Puisque $ p + q = 1 $ et $ pq = \frac{3}{16} $, on obtient directement : \[ p(X=2k+1) = \left(\frac{3}{16}\right)^k \]