1. Soit $ U_k $ l'événement : « Le tirage s'effectue dans l'urne numéro $ k $ » et $ B $ l'événement : « La boule tirée est blanche ».
    D'après la formule des probabilités totales : \[ P(B) = \sum_{k=1}^{n} P(U_k) P(B|U_k) \] Le choix de l'urne est équiprobable, donc $ P(U_k) = \frac{1}{n} $. L'urne $ k $ contient $ k $ boules blanches sur un total de $ n $ boules, donc $ P(B|U_k) = \frac{k}{n} $. \[ P(B) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \frac{k}{n} = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} k \] En utilisant la somme des termes d'une suite arithmétique : \[ P(B) = \frac{1}{n^2} \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2n} \]
  2. Soit $ I $ l'événement : « L'urne tirée est impaire ».
    Le nombre $ n $ étant impair, on peut l'écrire sous la forme $ n = 2m - 1 $ avec $ m \in \mathbb{N}^* $. Le nombre d'urnes impaires est exactement $ m = \frac{n+1}{2} $.
    La probabilité de tirer une urne impaire est : \[ P(I) = \frac{\text{Nombre d'urnes impaires}}{\text{Nombre total d'urnes}} = \frac{\frac{n+1}{2}}{n} = \frac{n+1}{2n} \]
  3. On cherche à calculer la probabilité conditionnelle $ P(B|I) $ : \[ P(B|I) = \frac{P(B \cap I)}{P(I)} \] L'événement $ B \cap I $ correspond à tirer une boule blanche provenant d'une urne impaire : \[ P(B \cap I) = \sum_{\substack{k=1 \\ k \text{ impair}}}^{n} P(U_k) P(B|U_k) = \frac{1}{n^2} \sum_{\substack{k=1 \\ k \text{ impair}}}^{n} k \] La somme des $ m $ premiers entiers impairs est égale à $ m^2 $. Sachant que $ m = \frac{n+1}{2} $ : \[ P(B \cap I) = \frac{1}{n^2} \left( \frac{n+1}{2} \right)^2 = \frac{(n+1)^2}{4n^2} \] On en déduit : \[ P(B|I) = \frac{\frac{(n+1)^2}{4n^2}}{\frac{n+1}{2n}} = \frac{(n+1)^2}{4n^2} \frac{2n}{n+1} = \frac{n+1}{2n} \]