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L'expérience consiste en une répétition de $ n $ tirages indépendants avec remise. Il s'agit d'un schéma de Bernoulli.
La probabilité de tirer une boule blanche lors d'un tirage est $ p = \frac{10}{n} $.
La probabilité de tirer une boule noire est $ q = \frac{n-10}{n} $.
La probabilité $ p_k $ d'obtenir exactement $ k $ boules blanches suit la loi binomiale $ \mathcal{B}(n, p) $ : \[ p_k = C_n^k \left(\frac{10}{n}\right)^k \left(\frac{n-10}{n}\right)^{n-k} \] - Pour tout $ k \in [0, n-1] $ : \[ u_k = \frac{p_{k+1}}{p_k} = \frac{C_n^{k+1} \left(\frac{10}{n}\right)^{k+1} \left(\frac{n-10}{n}\right)^{n-k-1}}{C_n^k \left(\frac{10}{n}\right)^k \left(\frac{n-10}{n}\right)^{n-k}} \] En développant les combinaisons : \[ u_k = \frac{\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}{\frac{n!}{k!(n-k)!}} \times \left(\frac{10}{n}\right) \times \left(\frac{n}{n-10}\right) \] \[ u_k = \frac{k!(n-k)!}{(k+1)!(n-k-1)!} \times \frac{10}{n-10} \] \[ u_k = \left(\frac{n-k}{k+1}\right) \times \left(\frac{10}{n-10}\right) \]
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Ătudions la position de $ u_k $ par rapport Ă $ 1 $. RĂ©Ă©crivons le rapport sous la forme :
\[ u_k = \left(\frac{n-k}{n-10}\right) \times \left(\frac{10}{k+1}\right) \]
- Si $ k \leq 9 $ :
On a d'une part $ n-k \geq n-9 > n-10 $, d'oĂč $ \frac{n-k}{n-10} \geq 1 $.
D'autre part, $ k+1 \leq 10 $, d'oĂč $ \frac{10}{k+1} \geq 1 $.
Le produit de ces deux facteurs est donc supérieur ou égal à $ 1 $, soit $ u_k \geq 1 $. - Si $ k \geq 10 $ :
On a d'une part $ n-k \leq n-10 $, d'oĂč $ \frac{n-k}{n-10} \leq 1 $.
D'autre part, $ k+1 \geq 11 $, d'oĂč $ \frac{10}{k+1} < 1 $.
Le produit de ces deux facteurs est donc strictement inférieur à $ 1 $, soit $ u_k \leq 1 $.
- Si $ k \leq 9 $ :
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Des inégalités précédentes, on déduit les variations de la suite $ (p_k) $ :
- Pour $ 0 \leq k \leq 9 $, on a $ \frac{p_{k+1}}{p_k} \geq 1 $, donc $ p_{k+1} \geq p_k $.
- Pour $ 10 \leq k \leq n-1 $, on a $ \frac{p_{k+1}}{p_k} \leq 1 $, donc $ p_{k+1} \leq p_k $.
\[ M = p_{10} = C_n^{10} \left(\frac{10}{n}\right)^{10} \left(\frac{n-10}{n}\right)^{n-10} \] En explicitant le coefficient binomial : \[ M = \frac{n!}{10!(n-10)!} \times \frac{10^{10}}{n^{10}} \times \frac{(n-10)^{n-10}}{n^{n-10}} \] En regroupant astucieusement les facteurs : \[ M = \left(\frac{n!}{n^{10} \times n^{n-10}}\right) \left(\frac{10^{10}}{10!}\right) \left(\frac{(n-10)^{n-10}}{(n-10)!}\right) \] \[ M = \left(\frac{n!}{n^n}\right) \left(\frac{10^{10}}{10!}\right) \left(\frac{(n-10)^{n-10}}{(n-10)!}\right) \]