-
L'urne $U$ contient initialement 8 boules ($4$ rouges et $4$ bleues). Les tirages étant équiprobables :
\[ p(R_1) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] \[ p(B_1) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] -
Si l'événement $R_1$ est vérifié, on range la boule rouge tirée de $U$ dans l'urne $V$. L'urne $V$ contient alors $3$ boules rouges et $4$ boules bleues, soit un total de $7$ boules.
La probabilité de tirer une boule bleue de $V$ sachant $R_1$ est :
\[ p_{R_1}(B_2) = \frac{4}{7} \] -
Si l'événement $B_1$ est vérifié, la boule bleue tirée de $U$ est mise à part. L'urne $V$ reste inchangée avec ses $2$ boules rouges et $4$ boules bleues, soit $6$ boules au total.
La probabilité de tirer une boule bleue de $V$ sachant $B_1$ est :
\[ p_{B_1}(B_2) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] -
Les événements $R_1$ et $B_1$ forment une partition de l'univers. On applique la formule des probabilités totales :
\[ p(B_2) = p(R_1) \times p_{R_1}(B_2) + p(B_1) \times p_{B_1}(B_2) \]En remplaçant par les valeurs calculées :
\[ p(B_2) = \left(\frac{1}{2} \times \frac{4}{7}\right) + \left(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}\right) \] \[ p(B_2) = \frac{2}{7} + \frac{1}{3} \]En réduisant au même dénominateur ($21$) :
\[ p(B_2) = \frac{6}{21} + \frac{7}{21} = \frac{13}{21} \]Pour l'événement $R_2$, on utilise l'événement contraire puisque lors du tirage dans l'urne $V$, on tire soit une boule bleue, soit une boule rouge :
\[ p(R_2) = 1 - p(B_2) \] \[ p(R_2) = 1 - \frac{13}{21} = \frac{8}{21} \]