Correction de l'exercice

Modélisons cette expérience en trois étapes à l'aide d'un arbre de probabilités détaillé.
L'urne $U_2$ contient initialement $1$ boule blanche (⚪). Son contenu va changer selon le tirage de la pièce et le transfert depuis $U_1$ (qui contient $3$⚪ et $2$🔴).

1. Arbre des probabilités avec l'état de l'urne $U_2$



2. Calcul de la probabilité de tirer une boule blanche

   Soit $B$ l'évènement : « La boule tirée de $U_2$ est blanche ». En lisant directement notre arbre de probabilités, il y a exactement $5$ chemins qui mènent à l'évènement $B$. D'après le principe multiplicatif, la probabilité $p(B)$ est égale à la somme des produits des probabilités rencontrées le long de chacun de ces $5$ chemins :

   \[ p(B) = \left(\frac{1}{2} \times \frac{3}{5} \times 1\right) + \left(\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} \times \frac{3}{10} \times 1\right) + \left(\frac{1}{2} \times \frac{6}{10} \times \frac{2}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{3}\right) \]

   On effectue les multiplications pour chaque chemin :

   \[ p(B) = \frac{3}{10} + \frac{2}{20} + \frac{3}{20} + \frac{12}{60} + \frac{1}{60} \]

   Pour additionner ces fractions, on les réduit toutes au même dénominateur ($60$) :

   \[ p(B) = \frac{18}{60} + \frac{6}{60} + \frac{9}{60} + \frac{12}{60} + \frac{1}{60} \] \[ p(B) = \frac{18 + 6 + 9 + 12 + 1}{60} \] \[ p(B) = \frac{46}{60} = \frac{23}{30} \]



3. Probabilité conditionnelle inverse

   On cherche la probabilité d'avoir obtenu Face sachant que la boule tirée est blanche. Il s'agit de la probabilité conditionnelle $p_B(\text{Face})$, donnée par la formule :

   \[ p_B(\text{Face}) = \frac{p(\text{Face} \cap B)}{p(B)} \]

   La probabilité $p(\text{Face} \cap B)$ correspond à la somme des chemins passant par "Face" et menant à une "Blanche" (les deux premiers termes de notre grand calcul) :

   \[ p(\text{Face} \cap B) = \frac{18}{60} + \frac{6}{60} = \frac{24}{60} = \frac{12}{30} \]

   Il ne reste plus qu'à diviser par la probabilité totale trouvée à la question 1 :

   \[ p_B(\text{Face}) = \frac{\frac{12}{30}}{\frac{23}{30}} = \frac{12}{30} \times \frac{30}{23} = \frac{12}{23} \]