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Détermination des probabilités de base
D'après les données de l'énoncé sur la répartition de la production :
\[ p(A) = \frac{1}{3} \quad \text{et} \quad p(B) = \frac{2}{3} \]En traduisant les pourcentages de pièces défectueuses en probabilités conditionnelles :
\[ p_A(D) = 0,12 \quad \text{et} \quad p_B(D) = 0,09 \]On calcule les probabilités des intersections par la formule $p(E \cap F) = p(E) \times p_E(F)$ :
\[ p(A \cap D) = p(A) \times p_A(D) = \frac{1}{3} \times 0,12 = 0,04 \] \[ p(B \cap D) = p(B) \times p_B(D) = \frac{2}{3} \times 0,09 = 0,06 \]Les évènements $A$ et $B$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :
\[ p(D) = p(A \cap D) + p(B \cap D) = 0,04 + 0,06 = 0,10 \] -
Arbre pondéré des probabilités
On complète l'arbre en déduisant les probabilités des évènements contraires sur les branches secondaires ($p_A(\overline{D}) = 1 - 0,12 = 0,88$ et $p_B(\overline{D}) = 1 - 0,09 = 0,91$) :
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Probabilité de provenance de la machine A
On cherche la probabilité que la pièce provienne de la machine $A$ sachant qu'elle est défectueuse, soit $p_D(A)$ :
\[ p_D(A) = \frac{p(A \cap D)}{p(D)} \] \[ p_D(A) = \frac{0,04}{0,10} = 0,4 = \frac{2}{5} \] -
Étude de la variable aléatoire $X$
Remarque : Bien que le tirage soit "sans remise", l'énoncé précise que les prélèvements successifs sont supposés indépendants. Cela signifie que la production totale est suffisamment grande pour assimiler ce tirage à un tirage avec remise.
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Justification et paramètres de la loi binomiale :
L'expérience consiste à répéter $n$ fois de manière identique et indépendante une épreuve de Bernoulli. Pour chaque épreuve, on s'intéresse au "succès", défini par l'évènement $D$ : "la pièce prélevée est défectueuse".
La probabilité d'un succès est $p = p(D) = 0,10$. La variable aléatoire $X$ comptant le nombre de succès (pièces défectueuses) suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,10$, notée $\mathcal{B}(n ; 0,10)$.
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Calcul de $p(X=k)$ :
Pour tout entier $k$ tel que $0 \leq k \leq n$, la probabilité d'obtenir exactement $k$ pièces défectueuses est donnée par la formule du cours :
\[ p(X=k) = C_n^k \times p^k \times (1-p)^{n-k} \] \[ p(X=k) = C_n^k \times (0,10)^k \times (0,90)^{n-k} \] -
Espérance et variance en fonction de $n$ :
Pour une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$, on a :
L'espérance :
\[ E(X) = n \times p = 0,10n \]La variance :
\[ Var(X) = n \times p \times (1-p) = n \times 0,10 \times 0,90 = 0,09n \]
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