1. Valeur exacte de $P(A)$

    L'univers $\Omega$ correspond à toutes les répartitions possibles des dates d'anniversaire pour les $30$ élèves. On a : $\text{Card}(\Omega) = 365^{30}$.

    Il est plus simple de passer par l'événement contraire $\overline{A}$ : "Les $30$ élèves ont tous des dates d'anniversaire distinctes". Cela correspond au nombre d'arrangements de $30$ éléments parmi $365$ :

    \[ \text{Card}(\overline{A}) = A_{365}^{30} = \frac{365!}{(365-30)!} = \frac{365!}{335!} \]

    La probabilité de l'événement contraire est donc :

    \[ P(\overline{A}) = \frac{365!}{335! \times 365^{30}} \]

    On en déduit la valeur exacte de $P(A)$ :

    \[ P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{365!}{335! \times 365^{30}} \]

  2. Approximation par la formule de Stirling

    1. Calculs pour $k=5$, $10$ et $12$ :

      • Pour $k=5$ : $5! = 120$ ; $a_5 \approx 118,019$ ; $\frac{5!}{a_5} \approx 1,0167$
      • Pour $k=10$ : $10! = 3\,628\,800$ ; $a_{10} \approx 3\,598\,696$ ; $\frac{10!}{a_{10}} \approx 1,0084$
      • Pour $k=12$ : $12! = 479\,001\,600$ ; $a_{12} \approx 475\,687\,486$ ; $\frac{12!}{a_{12}} \approx 1,0070$

      Conclusion : On observe que le rapport $\frac{k!}{a_k}$ se rapproche de $1$ à mesure que $k$ augmente. La suite $(a_n)$ est donc un équivalent asymptotique de $n!$ au voisinage de $+\infty$ (noté $n! \sim a_n$).

      Remarque : Cela signifie que l'erreur relative tend vers $0$, même si l'erreur absolue $|n! - a_n|$ tend vers $+\infty$.

    2. Valeur approchée de $P(A)$ :

      En remplaçant les factorielles par l'approximation de Stirling dans l'expression de $P(\overline{A})$ :

      \[ P(\overline{A}) \approx \frac{\sqrt{2\pi \times 365}\left(\frac{365}{e}\right)^{365}}{\sqrt{2\pi \times 335}\left(\frac{335}{e}\right)^{335} \times 365^{30}} \] \[ P(\overline{A}) \approx \sqrt{\frac{365}{335}} \times \frac{365^{365}}{335^{335}} \times \frac{e^{335}}{e^{365}} \times \frac{1}{365^{30}} \] \[ P(\overline{A}) \approx \sqrt{\frac{365}{335}} \times \left(\frac{365}{335}\right)^{335} \times e^{-30} \]

      D'où l'expression approchée :

      \[ P(A) \approx 1 - \left( \sqrt{\frac{73}{67}} \left(\frac{73}{67}\right)^{335} e^{-30} \right) \]

  3. Application numérique

    À l'aide d'une calculatrice, on évalue la probabilité :

    \[ P(\overline{A}) \approx 1,0438 \times 2,947 \cdot 10^{12} \times 9,357 \cdot 10^{-14} \approx 0,2878 \] \[ P(A) \approx 1 - 0,2878 = 0,7122 \]

    Il y a donc environ $71,2\%$ de chances qu'au moins deux élèves fêtent leur anniversaire le même jour dans une classe de $30$ élèves (Note : la valeur exacte sans Stirling donne environ $70,6\%$, l'approximation est donc très fidèle).