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Cardinal de $E_p$
$E_p$ est l'ensemble des parties à $p$ éléments choisis parmi les $n$ éléments de $E$.
\[ \text{Card}(E_p) = C_n^p \] -
Bijectivité de la fonction $f$
\begin{align*} f : &S_p \longrightarrow E_p\\ &(c_1,c_2,\cdots,c_p) \longmapsto \{c_1,c_2,\cdots,c_p\} \end{align*}- SurjectivitĂ© (existence) : Toute partie de $p$ rĂ©els peut ĂȘtre ordonnĂ©e du plus petit au plus grand pour former un $p$-uplet strictement croissant. Chaque Ă©lĂ©ment de $E_p$ admet donc au moins un antĂ©cĂ©dent dans $S_p$.
- InjectivitĂ© (unicitĂ©) : Il n'existe qu'une seule façon de trier un ensemble fini de rĂ©els dans l'ordre croissant. Deux suites strictement croissantes ayant le mĂȘme ensemble de valeurs sont donc identiques terme Ă terme. Chaque Ă©lĂ©ment de $E_p$ admet au plus un antĂ©cĂ©dent.
$f$ est Ă la fois surjective et injective, c'est donc une bijection.
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Cardinal de $S_p$
Puisque $f$ est une bijection, les ensembles de dĂ©part et d'arrivĂ©e ont le mĂȘme cardinal :
\[ \text{Card}(S_p) = \text{Card}(E_p) = C_n^p \] -
Nombre d'applications strictement croissantes
Une application $g : \{1, 2, \dots, p\} \longrightarrow E$ est strictement croissante si et seulement si la suite de ses images $(g(1), g(2), \dots, g(p))$ appartient Ă l'ensemble $S_p$.
Il y a donc une correspondance parfaite (bijection) entre ces applications et les éléments de $S_p$.
\[ \text{Nombre d'applications} = \text{Card}(S_p) = C_n^p \]