1. Étude de l'ensemble $S$

    1. L'ensemble $A$ est une partie à $6$ éléments choisis parmi les $12$ personnes de $E$.

      \[ \text{Nombre de choix pour } A = C_{12}^6 = 924 \]

    2. Les ensembles $A$ et $\overline{A}$ ont tous deux pour cardinal $6$. Le nombre de bijections de $A$ vers $\overline{A}$ est égal au nombre de permutations d'un ensemble à $6$ éléments.

      \[ \text{Nombre de bijections } f = 6! = 720 \]

    3. Le cardinal de $S$ est le produit du nombre de choix pour $A$ par le nombre de bijections associées.

      \[ \text{Card}(S) = C_{12}^6 \times 6! = 924 \times 720 = 665\,280 \]

  2. Relation d'Ă©quivalence et passage au quotient

    1. La relation $\mathcal{R}$ traduit l'égalité des configurations générées. Elle hérite naturellement des propriétés de l'égalité : elle est réflexive, symétrique et transitive. C'est une relation d'équivalence.

    2. Soit une configuration de $6$ paires fixée. Pour construire un ensemble $A$ valide, on doit choisir exactement un représentant dans chacune des $6$ paires. Il y a $2$ choix pour la premiÚre paire, $2$ pour la deuxiÚme, etc.

      \[ \text{Nombre d'ensembles } A \text{ possibles} = 2^6 = 64 \]

    3. Une fois l'ensemble $A$ choisi parmi ces $64$ possibilités, la bijection $f$ est strictement imposée par les paires de la configuration. Chaque classe d'équivalence contient donc exactement :

      \[ 64 \times 1 = 64 \text{ éléments} \]

    4. Le nombre total de rĂ©partitions correspond au nombre de classes d'Ă©quivalence, c'est-Ă -dire le cardinal de l'ensemble quotient $S/\mathcal{R}$. Toutes les classes ayant le mĂȘme cardinal :

      \[ \text{Card}(S/\mathcal{R}) = \frac{\text{Card}(S)}{64} = \frac{C_{12}^6 \times 6!}{2^6} = \frac{665\,280}{64} = 10\,395 \]