Soit $E$ un ensemble constitué de $12$ personnes. On cherche à déterminer le nombre de répartitions possibles de ces personnes en $6$ groupes non orientés de $2$ personnes (c'est-à-dire $6$ paires disjointes).

Pour cela, on note $\mathcal{P}_6(E)$ l'ensemble des parties de $E$ contenant exactement $6$ éléments. Pour tout $A \in \mathcal{P}_6(E)$, on note $\overline{A}$ son complémentaire dans $E$.

On définit l'ensemble $S$ constitué de tous les couples $(A, f)$ où $A \in \mathcal{P}_6(E)$ et $f$ est une bijection de $A$ vers $\overline{A}$.

1. Étude de l'ensemble $S$

   1. Déterminer le nombre de choix possibles pour l'ensemble $A$.
   2. L'ensemble $A$ étant fixé, combien existe-t-il de bijections $f$ de $A$ vers $\overline{A}$ ?
   3. En déduire le cardinal de l'ensemble $S$.



2. Relation d'équivalence et passage au quotient

   À tout couple $(A, f) \in S$, on associe de manière unique une configuration de $6$ paires en formant les ensembles $\{x, f(x)\}$ pour tout $x \in A$.

   On définit sur $S$ la relation $\mathcal{R}$ par : $(A, f) \mathcal{R} (B, g)$ si et seulement si ces deux couples génèrent exactement la même configuration de $6$ paires.

   1. Justifier brièvement que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence sur $S$.
   2. Soit une configuration de $6$ paires fixée. Pour qu'un couple $(A, f)$ génère cette configuration, l'ensemble $A$ doit contenir exactement un élément de chaque paire. En déduire le nombre d'ensembles $A$ possibles pour une configuration donnée.
   3. Combien d'éléments de $S$ appartiennent à une même classe d'équivalence pour la relation $\mathcal{R}$ ?
   4. En utilisant le cardinal de l'ensemble quotient $S/\mathcal{R}$, déduire, le nombre total de répartitions possibles des $12$ personnes en $6$ paires.