On suppose que $0 \lt P(B) \lt 1$ et que: \[P(A|\overline{B}) = \frac{P(A)}{1-P(B)}\]

1. Montrons que $~~P(A \cap B) = 0$:

   Par définition de la probabilité conditionnelle, on a :

   \[ P(A|\overline{B}) = \frac{P(A \cap \overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{P(A \cap \overline{B})}{1 - P(B)} \]

   En identifiant avec l'hypothèse de l'énoncé, on obtient :

   \[ \frac{P(A \cap \overline{B})}{1 - P(B)} = \frac{P(A)}{1 - P(B)} \]

   Puisque $P(B) \lt 1$, on a $1 - P(B) \neq 0$:

   \[ P(A \cap \overline{B}) = P(A) \]

   D'après la formule des probabilités totales, on sait que:
   \[P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})\] En substituant $P(A \cap \overline{B})$ par $P(A)$ dans cette égalité :

   \[ P(A) = P(A \cap B) + P(A) \] \[ P(A \cap B) = 0 \]



2. Montrons que $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

   La formule générale de la probabilité de la réunion est :

   \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

   D'après le résultat de la question précédente, $P(A \cap B) = 0$. Il vient alors directement :

   \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]



3. Montrons que $P(A|B) = 0$

   Par définition de la probabilité conditionnelle :

   \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

   Comme $~~P(A \cap B) = 0~~$ alors :

   \[ P(A|B) = 0 \]