E A B A ∩ B̄ A ∩ B B ∩ Ā
  1. On a : $A \cup \bar{A} = E$
    Et donc : \[ B = B \cap E = B \cap (A \cup \bar{A}) \] En utilisant la distributivité de l'intersection par rapport à la réunion :
    \[ B \cap (A \cup \bar{A}) = (B \cap A) \cup (B \cap \bar{A}) \] Soit : \[ B = (B \cap A) \cup (B \cap \bar{A}) \]
  2. Les Ă©vĂšnements $A$ et $\bar{A}$ sont disjoints ($A \cap \bar{A} = \emptyset$). Il en est de mĂȘme pour leurs sous-ensembles respectifs $(B \cap A)$ et $(B \cap \bar{A})$.
    Par conséquent : \[ P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \bar{A}) \]
  3. D'aprÚs le diagramme de Venn, on a: \[A\cup B =A\cup (B\cap \bar{A})\] On peut également retrouver ce résultat en utilisant la distributivité de la réunion par rapport à l'intersection : \begin{align*} A \cup (B \cap \bar{A}) &= (A \cup B) \cap (A \cup \bar{A}) \\ &= (A \cup B) \cap E \\ &= A \cup B \end{align*}
  4. D'aprĂšs la question 3, on a : \[ P(A \cup B) = P(A \cup (B \cap \bar{A})) \] En outre on a : \[ A \cap (B \cap \bar{A}) = (A \cap \bar{A}) \cap B = \emptyset \cap B = \emptyset \] Et par la suite : \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B \cap \bar{A}) \] D'aprĂšs la question 2, on a : $P(B \cap \bar{A}) = P(B) - P(B \cap A)$.
    On en déduit donc : \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
  5. Posons : $B \cup C = D$
    \begin{align*} P(A \cup B \cup C) &= P(A \cup D) \\ &= P(A) + P(D) - P(A \cap D) \\ &= P(A) + P(D) - P(A \cap (B \cup C)) \\ &= P(A) + P(D) - P((A \cap B) \cup (A \cap C)) \\ &= P(A) + P(D) - \left( P(A \cap B) + P(A \cap C) - P((A \cap B) \cap (A \cap C)) \right) \end{align*} Or : $~~P(D) = P(B) + P(C) - P(B \cap C)$
    Et $~~(A \cap B) \cap (A \cap C) = A \cap B \cap C$.
    Donc : \begin{align*} P(A \cup B \cup C) &= P(A) + P(B) + P(C) - P(B \cap C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C) \\ &= P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(A \cap B \cap C) \end{align*}