Théorème de la moyenne généralisé

1. Par hypothèse, $(\forall t \in [a;b]) \quad |f(t)| \le M$, soit $-M \le f(t) \le M$.
   Comme $g(t) \ge 0$ sur $[a;b]$, la multiplication conserve l'ordre : \[ -M g(t) \le f(t)g(t) \le M g(t) \] Par croissance et linéarité de l'intégrale (avec $a \le b$) : \[ -M \int_a^b g(t) \,dt \le \int_a^b f(t)g(t) \,dt \le M \int_a^b g(t) \,dt \] Ce qui donne directement la valeur absolue demandée : \[ \left| \int_a^b f(t)g(t) \,dt \right| \le M \int_a^b g(t) \,dt \]
2. La fonction $f$ étant continue sur le segment $[a;b]$, elle y atteint ses bornes. Il existe $\alpha, \beta \in [a;b]$ tels que $f(\alpha) = m = \min_{[a;b]} f$ et $f(\beta) = M = \max_{[a;b]} f$.
   Considérons la fonction auxiliaire $h$ définie sur $[a;b]$ par : \[ h(x) = \int_a^b (f(t) - f(x))g(t) \,dt = \int_a^b f(t)g(t) \,dt - f(x) \int_a^b g(t) \,dt \] La fonction $h$ est continue sur $[a;b]$. Évaluons $h$ en $\alpha$ et en $\beta$ :
   $h(\alpha) = \int_a^b (f(t) - m)g(t) \,dt$. Comme $f(t) \ge m$ et $g(t) \ge 0$, on a $h(\alpha) \ge 0$.
   $h(\beta) = \int_a^b (f(t) - M)g(t) \,dt$. Comme $f(t) \le M$ et $g(t) \ge 0$, on a $h(\beta) \le 0$.
   La fonction $h$ change de signe entre $\alpha$ et $\beta$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel $c$ compris entre $\alpha$ et $\beta$ (donc $c \in [a;b]$) tel que $h(c) = 0$.
   L'égalité $h(c) = 0$ donne immédiatement : \[ \int_a^b f(t)g(t) \,dt = f(c) \int_a^b g(t) \,dt \]