1. Soit $l = \lim u_n$. Par définition de la limite, pour $\varepsilon = \frac{1}{2}$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \ge N$, $|u_n - l| < \frac{1}{2}$.
    Puisque $(u_n)$ est à valeurs dans $\mathbb{Z}$, on a nécessairement $l \in \mathbb{Z}$. La seule valeur entière satisfaisant cette inégalité stricte est $u_n = l$.
    La suite est donc stationnaire à partir du rang $N$.
    1. Posons $U(x) = x^n$ et $V(x) = (bx-a)^n$. Ainsi, $P_n(x) = \frac{1}{n!} U(x) V(x)$.
      D'après la formule de Leibniz, la dérivée d'ordre $p$ de $P_n$ est : \[ P_n^{(p)}(x) = \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^p \binom{p}{k} U^{(k)}(x) V^{(p-k)}(x) \] Pour $U(x) = x^n$, la seule dérivée non nulle en 0 est $U^{(n)}(0) = n!$.
      On distingue deux cas pour l'évaluation en $x = 0$ :
      • Si $p < n$ : le terme $U^{(n)}(0)$ n'apparaît pas dans la somme. Donc $P_n^{(p)}(0) = 0 \in \mathbb{Z}$.
      • Si $p \ge n$ : le seul terme non nul correspond à $k = n$. L'expression se simplifie en : \[ P_n^{(p)}(0) = \frac{1}{n!} \binom{p}{n} n! V^{(p-n)}(0) = \binom{p}{n} V^{(p-n)}(0) \]
      La fonction $V$ étant un polynôme à coefficients entiers, ses dérivées en 0 sont entières. De plus, $\binom{p}{n} \in \mathbb{Z}$, d'où $P_n^{(p)}(0) \in \mathbb{Z}$.

      Par un raisonnement symétrique en $x = \frac{a}{b}$, puisque $V\left(\frac{a}{b}\right) = 0$, la seule dérivée non nulle de $V$ est $V^{(n)}\left(\frac{a}{b}\right) = b^n n!$.
      Le même argument permet de conclure que $P_n^{(p)}\left(\frac{a}{b}\right) \in \mathbb{Z}$.
    2. Sur le segment $[0, \pi]$, la fonction continue $x \mapsto x(bx-a)$ est bornée par un réel $M > 0$.
      On a donc la majoration $|P_n(x)| \le \frac{M^n}{n!}$.
      On en déduit la majoration de l'intégrale : \[ |I_n| \le \int_0^\pi |P_n(x) \sin x| \,dx \le \int_0^\pi \frac{M^n}{n!} \,dx = \pi \frac{M^n}{n!} \] Par croissance comparée, $\lim_{n \to +\infty} \frac{M^n}{n!} = 0$, ce qui implique $\lim_{n \to +\infty} I_n = 0$.
    1. En procédant par des intégrations par parties successives : \begin{align*} I_n &= \int_{0}^{\pi}{(-\cos x)' P_n(x)\,dx} = [-\cos(x) P_n(x)]_0^\pi - \int_0^\pi (-\cos x) P_n'(x) \,dx \\ &= P_n(\pi) + P_n(0) + \int_{0}^{\pi}{(\sin x)' P_n'(x)\,dx} \\ &= P_n(\pi) + P_n(0) + [\sin(x) P_n'(x)]_0^\pi - \int_0^\pi \sin(x) P_n''(x) \,dx \\ &= P_n(\pi) + P_n(0) - \int_0^\pi P_n''(x) \sin x \,dx \end{align*} Le polynôme $P_n$ étant de degré $2n$, on obtient après réitération du processus une somme de termes de la forme $\pm P_n^{(k)}(\pi) \pm P_n^{(k)}(0)$.
      Puisque $\pi = \frac{a}{b}$, l'évaluation en $\pi$ équivaut à l'évaluation en $\frac{a}{b}$. D'après le résultat précédent, toutes ces valeurs sont des entiers. On conclut donc que $I_n \in \mathbb{Z}$.
    2. La suite $(I_n)$ est à valeurs dans $\mathbb{Z}$ et converge vers 0. D'après la première question, elle est stationnaire : il existe un rang $N \in \mathbb{N}$ à partir duquel $I_n = 0$.
      Or, pour tout $x \in ]0, \pi[$, on a $x < \frac{a}{b}$, ce qui implique $bx-a < 0$. Ainsi, le polynôme $P_n(x)$ garde un signe strictement constant (celui de $(-1)^n$) sur cet intervalle ouvert.
      Puisque $\sin x > 0$ sur $]0, \pi[$, la fonction continue $x \mapsto P_n(x) \sin x$ est de signe strict et ne s'annule pas identiquement. Son intégrale $I_n$ est donc nécessairement non nulle.
      Cette contradiction invalide l'hypothèse initiale $\pi = \frac{a}{b}$. Il est donc prouvé que $\pi \notin \mathbb{Q}$.