Calcul de l'intégrale $I$ par changement de variable

• On a:
  • $u = \tan t \iff t = \arctan u$.
  • $dt = \frac{du}{1+u^2}$
• Changement des bornes :
  • $t = \frac{\pi}{3}\implies u = \sqrt{3}$.
  • $t = x \implies u = \tan x$.
• En outre: \[\sin(2t) = \frac{2\tan t}{1+\tan^2 t} = \frac{2u}{1+u^2}\] Et donc, l'intégrale I devient : \[ I = \int_{\sqrt{3}}^{\tan x} \frac{2 \frac{du}{1+u^2}}{\frac{2u}{1+u^2}(u - 1)} = \int_{\sqrt{3}}^{\tan x} \frac{1}{u(u-1)} \, du \]
• Par décomposition en éléments simples, on a $\frac{1}{u(u-1)} = \frac{1}{u-1} - \frac{1}{u}$.
  \[ I = \int_{\sqrt{3}}^{\tan x} \left( \frac{1}{u-1} - \frac{1}{u} \right) \, du \]
• On intègre directement :
  \[ I = \left[ \ln|u-1| - \ln|u| \right]_{\sqrt{3}}^{\tan x} = \left[ \ln\left( \frac{u-1}{u} \right) \right]_{\sqrt{3}}^{\tan x} \]
• Puisque $x \in \left[\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}\right[$, $\tan x \ge \sqrt{3} > 1$, les valeurs sont positives. Finalement :
  \[ I = \ln\left(\frac{\tan x - 1}{\tan x}\right) - \ln\left(\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}\right) \]

Étude de la fonction $v$ et calcul de $J$

1. • On a : \[ v'(t) = - \frac{-\left(1+\tan^2 t\right)}{(1-\tan t)^2} = \frac{1+\tan^2 t}{(1-\tan t)^2} \]
2. • On remarque que l'intégrande de $J$ correspond au produit $v'(t) \ln(\tan t)$. Par intégration par parties :
     \[ J = \int_{\frac{\pi}{3}}^x \left( \frac{1}{1-\tan t} \right)' \ln(\tan t) \,dt = \left[ \frac{\ln(\tan t)}{1-\tan t} \right]_{\frac{\pi}{3}}^x - \int_{\frac{\pi}{3}}^x \frac{1}{1-\tan t} \frac{1+\tan^2 t}{\tan t} \,dt \]
   • Simplifions l'expression sous la seconde intégrale :
     \[ \frac{1+\tan^2 t}{\tan t(1-\tan t)} = - \frac{1+\tan^2 t}{\tan t(\tan t - 1)} = - \frac{2}{\sin(2t)(\tan t - 1)} \]
   • On reconnaît exactement l'opposé de l'intégrande de $I$. Par conséquent :
     \[ J = \left[ \frac{\ln(\tan t)}{1-\tan t} \right]_{\frac{\pi}{3}}^x - (-I) = \left[ \frac{\ln(\tan t)}{1-\tan t} \right]_{\frac{\pi}{3}}^x + I \]
   • En substituant les bornes et la valeur de $I$ :
     \[ J = \frac{\ln(\tan x)}{1-\tan x} - \frac{\ln(\sqrt{3})}{1-\sqrt{3}} + \ln\left(\frac{\tan x - 1}{\tan x}\right) - \ln\left(\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}\right) \]