1. On pose, pour tout $x \in \left[0; \frac{1}{2}\right]$ : $H(x) = G(x) + F(\pi(1-x))$.
      La fonction $x \mapsto \pi(1-x)$ est dérivable. Par application de la dérivée de la composée, on a : \[H'(x) = G'(x) + (-\pi) F'(\pi(1-x))\] \[H'(x) = \frac{\sin(\pi x)}{1-x} - \pi \frac{\sin(\pi(1-x))}{\pi(1-x)}\] \[H'(x) = \frac{\sin(\pi x)}{1-x} - \frac{\sin(\pi x)}{1-x} = 0\] La dérivée est nulle, donc la fonction $H$ est constante sur $\left[0; \frac{1}{2}\right]$.
      En Ă©valuant $H$ en $0$, on obtient : \[H(0) = G(0) + F(\pi)\] Comme $G(0) = \int_0^0 \frac{\sin(\pi t)}{1-t} \,dt = 0$, on a $H(0) = F(\pi)$.
      On en déduit que pour tout $x \in \left[0; \frac{1}{2}\right]$ : \[G(x) + F(\pi(1-x)) = F(\pi)\] soit : \[G(x) = F(\pi) - F(\pi(1-x))\]
    2. En évaluant cette derniÚre égalité en $x = \frac{1}{2}$, on obtient : \[G\left(\frac{1}{2}\right) = F(\pi) - F\left(\frac{\pi}{2}\right)\] Or, $F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{t} \,dt = 0$ et $F(\pi) = \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \frac{\sin t}{t} \,dt = I$. Ainsi : \[I = G\left(\frac{1}{2}\right) = \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{\sin(\pi t)}{1-t} \,dt\]

    1. Calcul de $u_0$ : \[u_0 = \int_0^{\frac{1}{2}} \sin(\pi t) \,dt = \left[ -\frac{\cos(\pi t)}{\pi} \right]_0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\pi}\] Calcul de $u_1$ par intégration par parties : \[u_1 = \int_0^{\frac{1}{2}} \left(-\frac{\cos(\pi t)}{\pi}\right)' t \,dt = \left[ -\frac{\cos(\pi t)}{\pi} t \right]_0^{\frac{1}{2}} - \int_0^{\frac{1}{2}} \left(-\frac{\cos(\pi t)}{\pi}\right) (t)' \,dt\] \[u_1 = 0 + \frac{1}{\pi} \int_0^{\frac{1}{2}} \cos(\pi t) \,dt = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\sin(\pi t)}{\pi} \right]_0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\pi^2}\] Pour $n \ge 2$, on applique une double intégration par parties : \[u_n = \int_0^{\frac{1}{2}} \left(-\frac{\cos(\pi t)}{\pi}\right)' t^n \,dt = \left[ -\frac{\cos(\pi t)}{\pi} t^n \right]_0^{\frac{1}{2}} - \int_0^{\frac{1}{2}} \left(-\frac{\cos(\pi t)}{\pi}\right) (t^n)' \,dt\] \[u_n = 0 + \frac{n}{\pi} \int_0^{\frac{1}{2}} t^{n-1} \cos(\pi t) \,dt\] On intÚgre à nouveau par parties l'intégrale restante : \[\int_0^{\frac{1}{2}} \left(\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\right)' t^{n-1} \,dt = \left[ \frac{\sin(\pi t)}{\pi} t^{n-1} \right]_0^{\frac{1}{2}} - \int_0^{\frac{1}{2}} \left(\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\right) (t^{n-1})' \,dt\] \[= \frac{1}{\pi 2^{n-1}} - \frac{n-1}{\pi} \int_0^{\frac{1}{2}} t^{n-2} \sin(\pi t) \,dt = \frac{1}{\pi 2^{n-1}} - \frac{n-1}{\pi} u_{n-2}\] En combinant les résultats : \[u_n = \frac{n}{\pi} \left( \frac{1}{\pi 2^{n-1}} - \frac{n-1}{\pi} u_{n-2} \right) = \frac{1}{\pi^2} \left[ \frac{n}{2^{n-1}} - n(n-1)u_{n-2} \right]\]
    2. On utilise la somme des termes d'une suite géométrique : \[\frac{1}{1-t} = \sum_{k=0}^{n-1} t^k + \frac{t^n}{1-t}\] En multipliant par $\sin(\pi t)$ et en intégrant de $0$ à $\frac{1}{2}$ : \[\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{\sin(\pi t)}{1-t} \,dt = \sum_{k=0}^{n-1} \int_0^{\frac{1}{2}} t^k \sin(\pi t) \,dt + \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{t^n \sin(\pi t)}{1-t} \,dt\] Ce qui donne directement, d'aprÚs la question 1.b : \[I = \sum_{k=0}^{n-1} u_k + R_n\]
    3. Pour $t \in \left[0; \frac{1}{2}\right]$, on a $\frac{1}{2} \le 1-t \le 1$, ce qui implique $\frac{1}{1-t} \le 2$. Comme $|\sin(\pi t)| \le 1$, on a : \[\left| \frac{t^n \sin(\pi t)}{1-t} \right| \le 2t^n\] En intégrant cette inégalité : \[|R_n| \le \int_0^{\frac{1}{2}} 2t^n \,dt = 2 \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} \right]_0^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{(n+1)2^{n+1}} = \frac{1}{(n+1)2^n}\]
    4. Puisque $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{(n+1)2^n} = 0$, le théorÚme des gendarmes assure que $\lim_{n \to +\infty} R_n = 0$.
      On en déduit en passant à la limite dans l'expression de la question 2.b : \[I = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^{n-1} u_k\]
    5. Pour obtenir une précision à $10^{-2}$, on cherche $n$ tel que $|R_n| \le 0,01$.
      Pour $n=5$, on a $|R_5| \le \frac{1}{6 \times 32} = \frac{1}{192} \le 0,01$.
      L'approximation de $I$ est donnée par la somme des 5 premiers termes : \[I \approx u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4\] \[u_0 \approx 0,318\] \[u_1 \approx 0,101\] \[u_2 = \frac{1}{\pi^2} \left( 1 - 2u_0 \right) \approx 0,037\] \[u_3 = \frac{1}{\pi^2} \left( \frac{3}{4} - 6u_1 \right) \approx 0,014\] \[u_4 = \frac{1}{\pi^2} \left( \frac{4}{8} - 12u_2 \right) \approx 0,006\] \[I \approx 0,318 + 0,101 + 0,037 + 0,014 + 0,006 \approx 0,48\]