1. Dérivée de $u$
      Soit la fonction définie par : \[ \begin{align*} u : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &t \longmapsto \ln(t+\sqrt{1+t^2}) \end{align*} \] En appliquant la formule de la dérivée de la composée, on obtient : \[ u'(t) = \frac{1 + \frac{2t}{2\sqrt{1+t^2}}}{t+\sqrt{1+t^2}} = \frac{\frac{\sqrt{1+t^2}+t}{\sqrt{1+t^2}}}{t+\sqrt{1+t^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \]
    2. Calcul de $I_0$ et $I_1$
      \[ I_0 = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \,dt = \left[ u(t) \right]_0^1 = \ln(1+\sqrt{2}) - \ln(1) = \ln(1+\sqrt{2}) \]
      \[ I_1 = \int_0^1 \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \,dt = \left[ \sqrt{1+t^2} \right]_0^1 = \sqrt{2} - 1 \]
  2. Monotonie de la suite $(I_n)$
    Pour tout $n \in \mathbb{N}$ : \[ I_{n+1} - I_n = \int_0^1 \frac{t^{n+1}-t^n}{\sqrt{1+t^2}} \,dt = \int_0^1 \frac{t^n(t-1)}{\sqrt{1+t^2}} \,dt \] Or, pour $t \in [0, 1]$, on a $t-1 \le 0$ et $\frac{t^n}{\sqrt{1+t^2}} \ge 0$.
    Donc $I_{n+1} - I_n \le 0$. La suite $(I_n)$ est décroissante.
  3. Calcul de $I_{n+2} + I_n$
    Pour tout $n \in \mathbb{N}$ : \[ I_{n+2} + I_n = \int_0^1 \frac{t^{n+2}+t^n}{\sqrt{1+t^2}} \,dt = \int_0^1 \frac{t^n(t^2+1)}{\sqrt{1+t^2}} \,dt = \int_0^1 t^n \sqrt{1+t^2} \,dt \]
  4. Relation de récurrence
    Par intégration par parties : \[ I_{n+2} + I_n = \int_0^1 \left(\frac{t^{n+1}}{n+1}\right)' \sqrt{1+t^2} \,dt = \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} \sqrt{1+t^2} \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{t^{n+1}}{n+1} \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \,dt \] \[ I_{n+2} + I_n = \frac{\sqrt{2}}{n+1} - \frac{1}{n+1} \int_0^1 \frac{t^{n+2}}{\sqrt{1+t^2}} \,dt = \frac{\sqrt{2}}{n+1} - \frac{1}{n+1} I_{n+2} \] En multipliant l'égalité par $(n+1)$ : \[ (n+1)I_{n+2} + (n+1)I_n = \sqrt{2} - I_{n+2} \] Ce qui donne finalement : \[ (n+2)I_{n+2} + (n+1)I_n = \sqrt{2} \]
  5. Encadrement de $\sqrt{2}$
    Puisque la suite $(I_n)$ est décroissante, on a $I_{n+2} \le I_n$.
    On peut donc Ă©crire :
    • $(n+2)I_{n+2} + (n+1)I_{n+2} \le (n+2)I_{n+2} + (n+1)I_n \implies (2n+3)I_{n+2} \le \sqrt{2}$
    • $(n+2)I_{n+2} + (n+1)I_n \le (n+2)I_n + (n+1)I_n \implies \sqrt{2} \le (2n+3)I_n$
    D'oĂč l'encadrement : \[ (2n+3)I_{n+2} \le \sqrt{2} \le (2n+3)I_n \]
  6. Convergence et limite de la suite $(n I_n)$
    D'une part, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : \[ (2n+3)I_{n+2} \le \sqrt{2} \le (2n+3)I_n \] D'autre part, en remplaçant $n$ par $n-2$ (pour $n \ge 2$), on obtient : \[ (2n-1)I_{n} \le \sqrt{2} \le (2n-1)I_{n-2} \] On en tire l'encadrement : \[ (2n-1)I_n \le \sqrt{2} \le (2n+3)I_n \] En divisant par $(2n-1)$ et $(2n+3)$, on isole $I_n$ : \[ \frac{\sqrt{2}}{2n+3} \le I_n \le \frac{\sqrt{2}}{2n-1} \] En multipliant par $n$, on déduit l'encadrement pour $nI_n$ : \[ \frac{n\sqrt{2}}{2n+3} \le nI_n \le \frac{n\sqrt{2}}{2n-1} \] Or : \[ \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{n\sqrt{2}}{2n+3} = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{et} \quad \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{n\sqrt{2}}{2n-1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Par le théorÚme d'encadrement, la suite $(n I_n)$ converge et sa limite est $\frac{\sqrt{2}}{2}$.