Sens de variation de la suite

• 1. Décroissance de $g_n$ :
  La fonction $g_n$ est la composée de $x \longmapsto 1-x$ (strictement décroissante) et de $X \longmapsto X^{\frac{1}{n}}$ (strictement croissante sur $[0, 1]$). D'après le théorème de la dérivée de la composée (ou simplement par composition), $g_n$ est décroissante sur $[0, 1]$.
• 2. Comparaison de $g_{n+1}$ et $g_n$ :
  Pour tout $x \in [0, 1[$, on a $\ln(1-x) \le 0$.
  Puisque $\frac{1}{n+1} \le \frac{1}{n}$, il s'ensuit que $\frac{1}{n+1}\ln(1-x) \ge \frac{1}{n}\ln(1-x)$.
  En appliquant la fonction exponentielle, on obtient $(1-x)^{\frac{1}{n+1}} \ge (1-x)^{\frac{1}{n}}$.
  L'inégalité restant trivialement vraie pour $x=1$, on a $g_{n+1}(x) \ge g_n(x)$ pour tout $x \in [0, 1]$.
• 3. Croissance de la suite $(u_n)$ :
  Soit $x \in [0, 1]$. On a $x^{n+1} \le x^n$.
  Puisque $g_n$ est décroissante (point 1), on a $g_n(x^{n+1}) \ge g_n(x^n)$.
  D'après le point 2, on a également $g_{n+1}(x^{n+1}) \ge g_n(x^{n+1})$.
  Par transitivité, on en déduit que $g_{n+1}(x^{n+1}) \ge g_n(x^n)$, ce qui s'écrit $\sqrt[n+1]{1-x^{n+1}} \ge \sqrt[n]{1-x^n}$.
  En intégrant cette inégalité sur l'intervalle $[0, 1]$, on obtient $u_{n+1} \ge u_n$.
  La suite $(u_n)_{n \ge 1}$ est donc croissante.

1. Encadrement de $\sqrt[n]{1-x}$

   • Soit $x \in [0, 1]$. On sait que $1-x \in [0, 1]$. Pour tout réel $y \in [0, 1]$ et $n \ge 1$, on a $y \le y^{\frac{1}{n}}$. En posant $y = 1-x$, on obtient $1-x \le \sqrt[n]{1-x}$.
   • Considérons la fonction $\phi$ définie sur $[0, 1]$ par $\phi(x) = 1 - \frac{x}{n} - (1-x)^{\frac{1}{n}}$.
     Sa dérivée sur $[0, 1[$ est $\phi'(x) = \frac{1}{n} \left( (1-x)^{\frac{1-n}{n}} - 1 \right)$.
     Comme $0 \le 1-x \le 1$ et $\frac{1-n}{n} \le 0$, on a $(1-x)^{\frac{1-n}{n}} \ge 1$, d'où $\phi'(x) \ge 0$.
     La fonction $\phi$ est croissante et $\phi(0) = 0$, donc $\phi(x) \ge 0$ sur $[0, 1]$.
     Ainsi, $\sqrt[n]{1-x} \le 1 - \frac{x}{n}$.

2. Déduction de l'encadrement de $u_n$ et limite

   • Pour tout $X \in [0, 1]$, $1-X \le \sqrt[n]{1-X} \le 1-\frac{X}{n}$.
   • En posant $X = x^n \in [0, 1]$, on obtient :
     \[1-x^n \le \sqrt[n]{1-x^n} \le 1-\frac{x^n}{n}\]
   • En intégrant sur $[0, 1]$ :
     \[\int_0^1 (1-x^n) \,dx \le u_n \le \int_0^1 \left(1-\frac{x^n}{n}\right) \,dx\]
   • Par calcul des intégrales, on aboutit à l'encadrement :
     \[\frac{n}{n+1} \le u_n \le \frac{n^2+n-1}{n(n+1)}\]
   • Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n+1} = 1$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2+n-1}{n(n+1)} = 1$, le théorème des gendarmes permet de conclure que :
     \[\lim_{n \to +\infty} u_n = 1\]