1. Pour tout $t \in [0; 1]$ et $n \in \mathbb{N}$ : \[ 1+t+n+1 \ge 1+t+n > 0 \implies \frac{1}{1+t+n+1} \le \frac{1}{1+t+n} \] En multipliant par $e^{-t^2} > 0$ et en intégrant sur $[0; 1]$ : \[ \int_0^1 \frac{e^{-t^2}}{1+t+n+1} \,dt \le \int_0^1 \frac{e^{-t^2}}{1+t+n} \,dt \implies u_{n+1} \le u_n \] La suite $(u_n)$ est décroissante.
    De plus, $e^{-t^2} > 0$ et $1+t+n > 0$ sur $[0; 1]$, donc l'intégrale d'une fonction positive est positive : \[ u_n \ge 0 \]

  2. Pour tout $t \in [0; 1]$, on a $1+t+n \ge n+1 > 0$ et $e^{-t^2} \le 1$.
    \[ 0 \le \frac{e^{-t^2}}{1+t+n} \le \frac{1}{n+1} \] Par intégration sur $[0; 1]$ : \[ 0 \le u_n \le \int_0^1 \frac{1}{n+1} \,dt \implies 0 \le u_n \le \frac{1}{n+1} \] Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} = 0$, d'après le théorème des gendarmes : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 \]

    1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0; 1]$.
      Pour tout $x \in [0; 1]$ : \[ f'(x) = -e^{-x} + 1 \] Comme $x \ge 0 \implies -x \le 0 \implies e^{-x} \le 1 \implies f'(x) \ge 0$.
      $f$ est strictement croissante sur $[0; 1]$.

      x f'(x) f(x) 0 1 + 0 e⁻¹

    2. La fonction $g$ est dérivable sur $[0; 1]$.
      Pour tout $x \in [0; 1]$ : \[ g'(x) = -1 + x + e^{-x} = f(x) \] D'après les variations de $f$, pour tout $x \in [0; 1]$, $f(x) \ge f(0) = 0$.
      Donc $g'(x) \ge 0$, la fonction $g$ est croissante sur $[0; 1]$.

      x g'(x) g(x) 0 1 + 0 1/2 - e⁻¹

    3. Comme $f(x) \ge 0$ sur $[0; 1]$ : \[ e^{-x} + x - 1 \ge 0 \implies 1 - x \le e^{-x} \] Comme $g(x) \ge g(0) = 0$ sur $[0; 1]$ : \[ 1 - x + \frac{x^2}{2} - e^{-x} \ge 0 \implies e^{-x} \le 1 - x + \frac{x^2}{2} \] D'où l'encadrement : \[ 1 - x \le e^{-x} \le 1 - x + \frac{x^2}{2} \]

    4. Pour $t \in [0; 1]$, on a $x = t^2 \in [0; 1]$.
      En remplaçant $x$ par $t^2$ dans l'encadrement précédent : \[ 1 - t^2 \le e^{-t^2} \le 1 - t^2 + \frac{t^4}{2} \]

  4. Pour tout $t \in [0; 1]$, on a $n+1 \le 1+t+n \le n+2$.
    On déduit les encadrements suivants pour le quotient : \[ \frac{1-t^2}{n+2} \le \frac{1-t^2}{1+t+n} \le \frac{e^{-t^2}}{1+t+n} \le \frac{1-t^2+\frac{t^4}{2}}{1+t+n} \le \frac{1-t^2+\frac{t^4}{2}}{n+1} \] En intégrant sur $[0; 1]$ : \[ \int_0^1 \frac{1-t^2}{n+2} \,dt \le u_n \le \int_0^1 \frac{1-t^2+\frac{t^4}{2}}{n+1} \,dt \] Calculons les intégrales : \[ \int_0^1 (1-t^2) \,dt = \left[ t - \frac{t^3}{3} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] \[ \int_0^1 \left(1-t^2+\frac{t^4}{2}\right) \,dt = \left[ t - \frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{10} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} = \frac{23}{30} \] D'où le résultat : \[ \frac{2}{3(n+2)} \le u_n \le \frac{23}{30(n+1)} \]

  5. On cherche $n_0$ tel que pour $n \ge n_0$, $u_n \le 10^{-2}$.
    Il suffit que la borne supérieure vérifie cette condition : \[ \frac{23}{30(n+1)} \le \frac{1}{100} \] \[ 2300 \le 30(n+1) \implies n+1 \ge \frac{230}{3} \] Comme $\frac{230}{3} \approx 76,66$, on a : \[ n+1 \ge 77 \implies n \ge 76 \] On peut prendre $n_0 = 76$.