1. Pour tout $x \in [1; e]$, on a $x \ge 0$ et $\ln x \ge 0$, donc $x(\ln x)^n \ge 0$.
    Les bornes de l'intĂ©grale respectent $1 \le e$, d'oĂč : \[ u_n \ge 0 \] La suite $(u_n)_{n \ge 1}$ est donc positive.
    Pour tout $x \in [1; e]$, on a $0 \le \ln x \le 1$, ce qui implique : \[ (\ln x)^{n+1} \le (\ln x)^n \] En multipliant par $x \ge 0$ : \[ x(\ln x)^{n+1} \le x(\ln x)^n \] Par intégration sur $[1; e]$ : \[ \int_1^e x(\ln x)^{n+1} \,dx \le \int_1^e x(\ln x)^n \,dx \implies u_{n+1} \le u_n \] La suite $(u_n)_{n \ge 1}$ est décroissante.

  2. \begin{align*} u_{n+1} &= \int_1^e \left(\frac{x^2}{2}\right)' (\ln x)^{n+1} \,dx \\ &= \left[ \frac{x^2}{2} (\ln x)^{n+1} \right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} (n+1) \frac{1}{x} (\ln x)^n \,dx \\ &= \frac{e^2}{2} - \frac{n+1}{2} \int_1^e x (\ln x)^n \,dx \\ &= \frac{e^2}{2} - \frac{n+1}{2} u_n \end{align*} En multipliant l'égalité par $2$, on obtient : \[ 2u_{n+1} = e^2 - (n+1)u_n \] Par conséquent: \[ 2u_{n+1} + (n+1)u_n = e^2 \]

  3. La suite $(u_n)_{n \ge 1}$ est décroissante, donc $u_{n+1} \le u_n$.
    À partir de la relation $2u_{n+1} + (n+1)u_n = e^2$, on remplace $2u_{n+1}$ par $2u_n$ pour obtenir une minoration : \[ e^2 \le 2u_n + (n+1)u_n \implies e^2 \le (n+3)u_n \implies \frac{e^2}{n+3} \le u_n \] De plus, comme $u_{n+1} \ge 0$, on a : \[ (n+1)u_n = e^2 - 2u_{n+1} \le e^2 \implies u_n \le \frac{e^2}{n+1} \] On en dĂ©duit l'encadrement : \[ \frac{e^2}{n+3} \le u_n \le \frac{e^2}{n+1} \] Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{e^2}{n+3} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{e^2}{n+1} = 0$, d'aprĂšs le thĂ©orĂšme des gendarmes : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 \]