- Pour tout $x \in [0; 1]$ : \[ 0 \le x \le 1 \implies 0 \le x^2 \le 1 \] Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a : \[ 0 \le \frac{x^2}{n} \le \frac{1}{n} \] La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc : \[ e^0 \le e^{\frac{x^2}{n}} \le e^{\frac{1}{n}} \implies 1 \le e^{\frac{x^2}{n}} \le e^{\frac{1}{n}} \]
-
En intégrant l'inégalité sur $[0; 1]$ :
\[ \int_0^1 1 \,dx \le \int_0^1 e^{\frac{x^2}{n}} \,dx \le \int_0^1 e^{\frac{1}{n}} \,dx \]
\[ [x]_0^1 \le u_n \le e^{\frac{1}{n}} [x]_0^1 \]
\[ 1 \le u_n \le e^{\frac{1}{n}} \]
On a $\lim_{n \to +\infty} 1 = 1$ et $\lim_{n \to +\infty} e^{\frac{1}{n}} = e^0 = 1$.
D'aprÚs le théorÚme des gendarmes, la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est convergente et : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = 1 \] - La fonction $x \longmapsto e^{\frac{x^2}{n}}$ est continue sur $[0; 1]$. D'aprÚs le théorÚme de la moyenne, il existe $c_n \in [0; 1]$ tel que : \[ \int_0^1 e^{\frac{x^2}{n}} \,dx = (1-0)e^{\frac{c_n^2}{n}} \] \[ u_n = e^{\frac{c_n^2}{n}} \] En appliquant le logarithme népérien : \[ \ln(u_n) = \frac{c_n^2}{n} \implies c_n^2 = n \ln(u_n) \]